Составить уравнение по второму закону Кирхгофа

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Законы Кирхгофа

Задача состоит в том, чтобы составить уравнение по второму закону Кирхгофа, который гласит:

Алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на всех элементах этого контура:

 \sum \mathcal{E} = \sum IR 

Дано:

• \mathcal{E}_1 = 10\, \text{В}
• R_1 = 1\, \text{Ом}
• R_2 = 5\, \text{Ом}
• R_3 = 4\, \text{Ом}
• R_4 = 2\, \text{Ом}
• R_5 = 3\, \text{Ом}
• \mathcal{E}_2 = 12\, \text{В}

Обозначим токи в ветвях, как на рисунке:

• I_1 — ток через R_1 и R_2
• I_2 — ток через R_3
• I_3 — ток через R_4 и R_5

Шаг 1: Выбор контуров

Выберем два замкнутых контура:

1. Левый контур: \mathcal{E}_1 \rightarrow R_1 \rightarrow R_4 \rightarrow R_3
2. Правый контур: \mathcal{E}_2 \rightarrow R_5 \rightarrow R_4 \rightarrow R_2

Шаг 2: Применим 2-й закон Кирхгофа:

Контур 1 (левый):

Проходим по часовой стрелке:

 \mathcal{E}_1 - I_1 R_1 - (I_1 - I_2) R_4 - I_2 R_3 = 0 

Контур 2 (правый):

Проходим по часовой стрелке:

 \mathcal{E}_2 - I_3 R_5 - (I_3 - I_2) R_4 - I_1 R_2 = 0 

Шаг 3: Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа (в узле между R_3, R_4 и R_5):

 I_1 + I_3 = I_2 

Ответ: Система уравнений по законам Кирхгофа

 \begin{cases} 10 - I_1 \cdot 1 - (I_1 - I_2) \cdot 2 - I_2 \cdot 4 = 0 \ 12 - I_3 \cdot 3 - (I_3 - I_2) \cdot 2 - I_1 \cdot 5 = 0 \ I_1 + I_3 = I_2 \end{cases} 

Эта система уравнений описывает токи в цепи согласно законам Кирхгофа.