Определить токи в ветвях электрической цепи, используя законы Кирхгофа

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Законы Кирхгофа

Задача: Определить токи в ветвях электрической цепи, используя законы Кирхгофа.

Дано:

• Источник тока: [J = 2 \text{ А}]
• ЭДС: [E = 6 \text{ В}]
• Сопротивления:
  • [R_1 = 3 \ \Omega]
  • [R_2 = 1 \ \Omega]
  • [R_3 = 2 \ \Omega]
  • [R_4 = 2 \ \Omega]
  • [R_5 = 2 \ \Omega]

Обозначим токи:

• [I_1] — ток через [R_1]
• [I_2] — ток через [R_2]
• [I_3] — ток через [R_3]
• [I_4] — ток через [R_4]
• [I_5] — ток через [R_5]

Также дан внешний ток [J = 2 \text{ А}], входящий в узел 2.

Шаг 1: Применим 1-й закон Кирхгофа (закон сохранения тока) к узлам

Узел 2: Входящие токи: [J = 2]
Исходящие токи: [I_2] и [I_4]

 J = I_2 + I_4 \Rightarrow 2 = I_2 + I_4 \quad \text{(1)} 

Узел 3: Входящие: [I_5]
Исходящие: [I_3]

 I_5 = I_3 \quad \text{(2)} 

Узел 1: Входящие: [I_1]
Исходящие: [I_4]

 I_1 = I_4 \quad \text{(3)} 

Шаг 2: Применим 2-й закон Кирхгофа (правило напряжений) к замкнутым контурам

Контур 1: 1 → 2 → 4 → 1 (через E, R4, R1)

Обход по часовой стрелке:

 -E + I_2 R_2 + I_4 R_4 + I_1 R_1 = 0 

Подставим значения сопротивлений:

 -6 + I_2 \cdot 1 + I_4 \cdot 2 + I_1 \cdot 3 = 0 \quad \text{(4)} 

Контур 2: 2 → 3 → 4 → 2 (через R5, R3, R2)

 I_5 R_5 + I_3 R_3 - I_2 R_2 = 0 

Подставим сопротивления:

 I_5 \cdot 2 + I_3 \cdot 2 - I_2 \cdot 1 = 0 \quad \text{(5)} 

Шаг 3: Подставим уравнения (2) и (3) в (4) и (5)

Из (2): [I_5 = I_3]
Из (3): [I_1 = I_4]

Подставим в (4):

 -6 + I_2 \cdot 1 + I_4 \cdot 2 + I_4 \cdot 3 = 0 

 -6 + I_2 + 5I_4 = 0 \Rightarrow I_2 + 5I_4 = 6 \quad \text{(6)} 

Из (5), с учетом [I_5 = I_3]:

 2I_3 + 2I_3 - I_2 = 0 \Rightarrow 4I_3 = I_2 \Rightarrow I_3 = \frac{I_2}{4} \quad \text{(7)} 

Шаг 4: Используем уравнение (1): [I_2 + I_4 = 2]

Выразим [I_2 = 2 - I_4] и подставим в (6):

 (2 - I_4) + 5I_4 = 6 

 2 + 4I_4 = 6 \Rightarrow 4I_4 = 4 \Rightarrow I_4 = 1 \text{ А} 

Теперь найдём остальные токи:

• [I_2 = 2 - I_4 = 2 - 1 = 1 \text{ А}]
• [I_1 = I_4 = 1 \text{ А}]
• [I_3 = \frac{I_2}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ А}]
• [I_5 = I_3 = 0.25 \text{ А}]

✅ Ответ:

• [I_1 = 1 \text{ А}]
• [I_2 = 1 \text{ А}]
• [I_3 = 0.25 \text{ А}]
• [I_4 = 1 \text{ А}]
• [I_5 = 0.25 \text{ А}]

Если нужно, могу построить таблицу токов или проверить баланс мощностей.