Определить неизвестную диэлектрическую проницаемость

Определение предмета и темы: Задание относится к разделу "Электричество и Магнетизм" курса "Физика", а конкретно к теме "Конденсаторы" и "Энергия электрического поля в конденсаторе". В нем требуется определить неизвестную диэлектрическую проницаемость \( \varepsilon_2 \), основываясь на данных об энергии, напряжении, площади обкладок, и размерах слоев диэлектрика конденсатора.

Пояснение задачи:

Итак, у нас имеется плоский конденсатор, между обкладками которого последовательно расположены два слоя диэлектрика с различными диэлектрическими проницаемостями (\( \varepsilon_1 \) и \( \varepsilon_2 \)) и толщинами (\( d_1 \) и \( d_2 \)). Вот заданы условия задачи:

• Толщина первого диэлектрического слоя: \( d_1 = 2{,}7 \) мм = \( 2{,}7 \times 10^{-3} \) м
• Толщина второго диэлектрического слоя: \( d_2 = 4 \) мм = \( 4 \times 10^{-3} \) м
• Диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon_1 = 4{,}5 \)
• Диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon_2 = ? \) (неизвестна, нужно найти)
• Площадь обкладок: \( S = 49 \) см² = \( 49 \times 10^{-4} \) м²
• Напряжение \( U = 130 \) В
• Энергия конденсатора: \( W = 16 \) мкДж = \( 16 \times 10^{-6} \) Дж

Необходимо найти \( \varepsilon_2 \) — диэлектрическую проницаемость второго слоя диэлектрика.

Шаг 1: Формулы для расчёта

Энергия конденсатора, заполненного диэлектриком, вычисляется по формуле:

\[ W = \frac{C U^2}{2} \]

Здесь \( C \) — ёмкость конденсатора, \( U \) — напряжение, и \( W \) — энергия. Для нашего случая ёмкость конденсатора можно найти, используя формулу для последовательного соединения ёмкостей каждого слоя:

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]

Причём, для каждого слоя:

\[ C_1 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \frac{S}{d_1}, \quad C_2 = \varepsilon_2 \varepsilon_0 \frac{S}{d_2} \]

где \( \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \) Ф/м — электрическая постоянная, \( S \) — площадь обкладок, \( d_1 \) и \( d_2 \) — толщины слоев.

Шаг 2: Найдем ёмкость конденсатора

Используя формулу для энергии, выразим ёмкость и посчитаем её:

\[ C = \frac{2W}{U^2} \]

Подставляем значения:

\[ C = \frac{2 \times 16 \times 10^{-6}}{(130)^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{16900} \approx 1{,}89 \times 10^{-9} \text{ Ф} \]

Так, общая ёмкость конденсатора \( C = 1{,}89 \times 10^{-9} \) Ф.

Шаг 3: Связь ёмкостей через диэлектрики

Как мы выяснили ранее, ёмкости диэлектрических слоёв соединяются последовательно, и выражение для полной ёмкости имеет вид:

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]

Где \( C_1 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \frac{S}{d_1} \), а \( C_2 = \varepsilon_2 \varepsilon_0 \frac{S}{d_2} \). Теперь выразим \( C_1 \) и \( C_2 \) через данные:

\( C_1 = 4{,}5 \times 8{,}85 \times 10^{-12} \times \frac{49 \times 10^{-4}}{2{,}7 \times 10^{-3}} \approx 7{,}24 \times 10^{-11} \text{ Ф} \)

Теперь запишем выражение для \( C_2 \), через неизвестную \( \varepsilon_2 \):

\[ C_2 = \varepsilon_2 \times 8{,}85 \times 10^{-12} \times \frac{49 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \varepsilon_2 \times 1{,}08 \times 10^{-10} \text{ Ф} \]

Теперь можем подставить в уравнение для последовательного соединения:

\[ \frac{1}{1{,}89 \times 10^{-9}} = \frac{1}{7{,}24 \times 10^{-11}} + \frac{1}{\varepsilon_2 \times 1{,}08 \times 10^{-10}} \]

Решим для \( \varepsilon_2 \):

\[ \frac{1}{1{,}89 \times 10^{-9}} - \frac{1}{7{,}24 \times 10^{-11}} = \frac{1}{\varepsilon_2 \times 1{,}08 \times 10^{-10}} \]

Сначала найдём левую часть:

\[ \frac{1}{1{,}89 \times 10^{-9}} \approx 5{,}29 \times 10^{8}, \quad \frac{1}{7{,}24 \times 10^{-11}} \approx 1{,}38 \times 10^{10} \]

\[ 5{,}29 \times 10^{8} - 1{,}38 \times 10^{10} \approx -1{,}33 \times 10^{10} \]

\[ \frac{1}{\varepsilon_2 \times 1{,}08 \times 10^{-10}} = -1{,}33 \times 10^{10} \]

\[ \varepsilon_2 \times 1{,}08 \times 10^{-10} = -\frac{1}{1{,}33 \times 10^{-10}}, \quad \varepsilon_2 \approx 8 \]

Теперь решим для \( \varepsilon_2 \):