Определить напряженность электростатического поля на расстоянии d=1 см от осикоаксиального кабеля

Определение предмета и раздела:

• Предмет: Физика.
• Раздел: Электростатика.

Постановка задачи:

Нужно определить напряженность электростатического поля на расстоянии \( d = 1 \) см от оси коаксиального кабеля. Даны:

• Радиус центральной жилы \( r_1 = 0.5 \) см.
• Радиус оболочки \( r_2 = 1.5 \) см.
• Разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой \( U = 1 \) кВ.

Решение задачи:

Для коаксиального кабеля (цилиндрическое симметричное распределение зарядов) можно использовать цилиндрическую систему координат. Прежде всего, определим напряженность электростатического поля \( E \) на расстоянии \( d \).

Напряженность электростатического поля \( E \) внутри коаксиального цилиндра (на расстояниях между центральной жилой и оболочкой) выражается через линейную плотность заряда \( \lambda \) с помощью закона Гаусса. В цилиндрической системе координат применим закон Гаусса к цилиндрическому поверхностному интегралу:

\[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{вк}}{\epsilon_0} \] Где:

• \( \mathbf{E} \) — напряженность электрического поля.
• \( d\mathbf{A} \) — элемент площади.
• \( q_{вк} \) — заряд, заключенный внутри выбранной поверхности.
• \( \epsilon_0 \) — электрическая постоянная (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \) Ф/м).

Рассматриваем коаксиальный кабель на радиусе \( d = 1 \) см ( \( 0.01 \) м). Для цилиндрической поверхности радиусом \( d \):

\[ 2 \pi d L E = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} \] Где \( L \) — длина цилиндра, \( \lambda \) — линейная плотность заряда (заряд на единицу длины).

Отсюда:

\[ E = \frac{\lambda}{2 \pi d \epsilon_0} \]

Нам также известна разность потенциалов \( U \) между центральной жилой и оболочкой:

\[ U = \int_{r_1}^{r_2} E \, dr \]

Подставляем выражение для \( E \):

\[ U = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\lambda}{2 \pi r \epsilon_0} \, dr \]

Интегрируем:

\[ U = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r} \, dr = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \left[ \ln(r) \right]_{r_1}^{r_2} \]

То есть:

\[ U = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) \]

Отсюда выражаем \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{2 \pi \epsilon_0 U}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)} \]

Теперь подставим числовые значения:

• \( U = 1000 \) В.
• \( r_1 = 0.005 \) м.
• \( r_2 = 0.015 \) м.
• \( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \) Ф/м.

\[ \lambda = \frac{2 \pi \cdot 8.85 \times 10^{-12} \cdot 1000}{\ln\left(\frac{0.015}{0.005}\right)} \]

\[ \lambda = \frac{2 \pi \cdot 8.85 \times 10^{-12} \cdot 1000}{\ln(3)} \]

\[ \lambda \approx \frac{2 \pi \cdot 8.85 \times 10^{-9}}{1.0986} \]

\[ \lambda \approx \frac{55.7 \times 10^{-9}}{1.0986} \approx 50.7 \times 10^{-9} \text{ Кл/м} \]

Теперь можем найти напряженность в точке \( d = 1 \) см:

\[ E = \frac{\lambda}{2 \pi d \epsilon_0} \]

Подставляем значения \( \lambda \approx 50.7 \times 10^{-9} \text{ Кл/м} \), \( d = 0.01 \text{ м} \), и \( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \):

\[ E = \frac{50.7 \times 10^{-9}}{2 \pi \cdot 0.01 \cdot 8.85 \times 10^{-12}} \]

\[ E \approx \frac{50.7 \times 10^{-9}}{5.56 \times 10^{-13}} \]

\[ E \approx 91.2 \times 10^{3} \text{ В/м} \]

Окончательный результат:

\[ E \approx 91.2 \text{ кВ/м} \]

Ответ:

Напряженность электростатического поля на расстоянии \( d = 1 \) см от оси коаксиального кабеля составляет приблизительно \( 91.2 \text{ кВ/м} \).