Определить число колебаний, за которое амплитуда тока в колебательном контуре уменьшится

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Колебательный контур, затухающие колебания, электрические колебания

Условие задачи:

Нужно определить число колебаний, за которое амплитуда тока в колебательном контуре уменьшится.

Теория:

В колебательном контуре с сопротивлением (затухающем), ток и напряжение изменяются по закону затухающих гармонических колебаний. Амплитуда тока убывает по экспоненциальному закону:

 I(t) = I_0 e^{-\gamma t} \cos(\omega t + \phi) 

где:

• I_0 — начальная амплитуда тока,
• \gamma — коэффициент затухания,
• \omega — циклическая частота,
• t — время.

Коэффициент затухания \gamma связан с параметрами контура:

 \gamma = \dfrac{R}{2L} 

где:

• R — сопротивление,
• L — индуктивность.

Определение числа колебаний до уменьшения амплитуды:

Если мы хотим найти, за сколько колебаний амплитуда уменьшится в определённое число раз, например, в e раз (то есть I = \dfrac{I_0}{e}), то мы используем экспоненциальный закон:

 I = I_0 e^{-\gamma t} 

Подставим I = \dfrac{I_0}{e}:

 \dfrac{I_0}{e} = I_0 e^{-\gamma t} 

Сократим на I_0:

 \dfrac{1}{e} = e^{-\gamma t} 

Тогда:

 -\gamma t = \ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = -1 \Rightarrow t = \dfrac{1}{\gamma} 

Это время, за которое амплитуда уменьшится в e раз. Теперь найдём число колебаний за это время.

Период колебаний:

 T = \dfrac{2\pi}{\omega} 

Число колебаний:

 N = \dfrac{t}{T} = \dfrac{1/\gamma}{2\pi/\omega} = \dfrac{\omega}{2\pi\gamma} 

Подставим \gamma = \dfrac{R}{2L} и \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \approx \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} (если затухание слабое):

 N \approx \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{\omega_0}{\gamma} = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{1/\sqrt{LC}}{R/(2L)} = \dfrac{2L}{R} \cdot \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\pi R} \cdot \sqrt{\dfrac{L}{C}} 

Ответ:

Число колебаний N, за которое амплитуда тока уменьшится в e раз, определяется по формуле:

 N = \dfrac{1}{\pi R} \cdot \sqrt{\dfrac{L}{C}} 

где:

• R — сопротивление в контуре,
• L — индуктивность,
• C — ёмкость.

Если нужно узнать, за сколько колебаний амплитуда уменьшится в другой раз (например, в 10 раз), можно использовать:

 \ln\left(\dfrac{I_0}{I}\right) = \gamma t \Rightarrow N = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \dfrac{\omega}{\gamma} \cdot \ln\left(\dfrac{I_0}{I}\right) 

Если у тебя есть конкретные значения R, L и C, я помогу рассчитать численно.