Найти ёмкости первого и второго конденсаторов

Предмет: Физика

Раздел: Электричество, Конденсаторы

Задача:

Даны три конденсатора с ёмкостями \( C_1 \), \( C_2 \) и \( C_3 \). Для последовательного соединения их общая ёмкость \( C_{посл} = 1 \) мкФ, а для параллельного соединения \( C_{парал} = 11 \) мкФ. Ёмкость третьего конденсатора \( C_3 = 2 \) мкФ. Нужно найти ёмкости первого (\( C_1 \)) и второго (\( C_2 \)) конденсаторов.

Решение:

1. Формула для последовательного соединения конденсаторов: \(\frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}\)

   Подставляем известные значения:

   \(\frac{1}{1} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{2}\)

   Проще говоря:

   \(1 = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + 0.5\)

   Решаем уравнение:

   \(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = 0.5\) —— (1)
2. Формула для параллельного соединения конденсаторов: \(C_{парал} = C_1 + C_2 + C_3\)

   Подставляем известные значения:

   \(11 = C_1 + C_2 + 2\)

   Проще говоря:

   \(C_1 + C_2 = 9\) —— (2)

Решим систему уравнений из (1) и (2):

1. Уравнение (2):

   \(C_1 + C_2 = 9\)

   Выразим \(C_2\):

   \(C_2 = 9 - C_1\)

2. Подставим выражение \(C_2\) в уравнение (1):

   \(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{9 - C_1} = 0.5\)

   Приведём к общему знаменателю и решим:

   \(\frac{9 - C_1 + C_1}{C_1(9 - C_1)} = 0.5\) \(\frac{9}{C_1(9 - C_1)} = 0.5\) \(18 = C_1(9 - C_1)\) \(18 = 9C_1 - C_1^2\) \(C_1^2 - 9C_1 + 18 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

• Найдём дискриминант:

  \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\)

• Найдём корни:

  \(C_1 = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2}\) \(C_1 = \frac{9 \pm 3}{2}\)

Следовательно:

• \(C_1 = 6\) или \(C_1 = 3\)

Подставим значения для \(C_1\) в уравнение \(C_2 = 9 - C_1\):

• Если \(C_1 = 6\): \(C_2 = 9 - 6 = 3\)
• Если \(C_1 = 3\): \(C_2 = 9 - 3 = 6\)

Ответ:

Ёмкости конденсаторов равны \(C_1 = 6\) мкФ, \(C_2 = 3\) мкФ или \(C_1 = 3\) мкФ, \(C_2 = 6\) мкФ.