найти ток через резистор

Предмет: Физика

Раздел предмета: Электричество и магнетизм

Тема: Законы Ома и Кирхгофа для сложных цепей

Чтобы найти ток через резистор \(R_4\), воспользуемся законами Кирхгофа. В данном случае, у нас есть два замкнутых контура. Обозначим токи следующим образом:

• Ток, проходящий по верхнему левой части цепи, обозначим как \(I_1\).
• Ток, проходящий по нижней части цепи, обозначим как \(I_2\).

Используем первый закон Кирхгофа для узла, который соединяет \(R_3\), \(R_4\), и \(R_5\):

\[ I_1 - I_2 - I_4 = 0 \] где \(I_4\) - ток через резистор \(R_4\).

Теперь рассмотрим два контура и применим второй закон Кирхгофа:

Для первого контура, проходящего через \(R_1\), \(R_2\), и \(R_5\):

\[ C - I_1 R_1 - I_1 R_5 - (I_1 - I_2) R_2 = 0 \]

Для второго контура, проходящего через \(R_3\), \(R_4\), и \(R_2\):

\[ C - I_2 R_3 - I_2 R_4 - (I_2 - I_1) R_2 = 0 \]

Вместо численных значений подставим номиналы резисторов:

• \(R_1 = 100 \text{ Ом}\),
• \(R_2 = 200 \text{ Ом}\),
• \(R_3 = 100 \text{ Ом}\),
• \(R_4 = 200 \text{ Ом}\),
• \(R_5 = 200 \text{ Ом}\),
• \(C = 20 \text{ В}\)

Теперь наши уравнения принимают следующую форму:

1. \(20 - 100I_1 - 200I_1 - 200(I_1 - I_2) = 0\)
2. \(20 - 100I_2 - 200I_2 - 200(I_2 - I_1) = 0\)

Упростим уравнения:

1. \(20 - 500I_1 + 200I_2 = 0\) или \(20 = 500I_1 - 200I_2\)
2. \(20 - 500I_2 + 200I_1 = 0\) или \(20 = 500I_2 - 200I_1\)

Решим систему из этих двух уравнений. Для этого можно воспользоваться методом подстановки либо методом Крамера. Для простоты воспользуемся методом сложения:

Добавление двух уравнений дает:

\[ 40 = 500I_1 - 200I_2 + 500I_2 - 200I_1 \]

\[ 40 = 300I_1 + 300I_2 \]

\[ I_1 + I_2 = \frac{40}{300} \]

\[ I_1 + I_2 = \frac{2}{15} \text{ A} \]

Возьмем одно из уравнений для подставления. Из первого:

\[ 20 = 500I_1 - 200I_2 \]

Подставив \(I_2 = \frac{2}{15} - I_1\):

\[ 20 = 500I_1 - 200(\frac{2}{15} - I_1) \]

\[ 20 = 500I_1 - \frac{400}{15} + 200I_1 \]

\[ 20 = 700I_1 - \frac{400}{15} \]

\[ 20 + \frac{400}{15} = 700I_1 \]

\[ \frac{300}{15} + \frac{400}{15} = 700I_1 \]

\[ \frac{700}{15} = 700I_1 \]

\[ I_1 = \frac{1}{15} \text{ A} \]

Теперь найдем \(I_2\):

\[ I_2 = \frac{2}{15} - I_1 \]

\[ I_2 = \frac{2}{15} - \frac{1}{15} \]

\[ I_2 = \frac{1}{15} \text{ A} \]

Ток через резистор \(R_4\) равен \(I_4 = I_2\):

\[ I_4 = \frac{1}{15} \text{ A} \]

Итак, ток через резистор \(R_4\) составляет \(\frac{1}{15}\) ампер.