Найти общее сопротивление схемы относительно зажимов a-b

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и электрические цепи

Данная задача относится к расчету электрических цепей. Мы будем искать эквивалентное сопротивление схемы и токи в ветвях. Для решения предположим, что схема состоит из резисторов, соединенных в определенном порядке (последовательно или параллельно). Если схема не дана на рисунке, то мы рассмотрим типичный случай, где резисторы соединены последовательно и параллельно.

Дано:

• Напряжение: [U_{ab} = 100 \, \text{В}]
• Сопротивления резисторов:
  [R_1 = 20 \, \Omega],
  [R_2 = 15 \, \Omega],
  [R_3 = 20 \, \Omega],
  [R_4 = 30 \, \Omega],
  [R_5 = 15 \, \Omega],
  [R_6 = 10 \, \Omega]

Решение:

1. Определение общего сопротивления схемы

Для этого нужно знать, как соединены резисторы. Пусть они соединены следующим образом:

• [R_1] и [R_2] соединены параллельно (ветвь 1).
• [R_3] и [R_4] соединены параллельно (ветвь 2).
• [R_5] и [R_6] соединены последовательно (ветвь 3).
• Все три ветви соединены последовательно.

Шаг 1.1: Эквивалентное сопротивление ветви 1

Резисторы [R_1] и [R_2] соединены параллельно. Для параллельного соединения эквивалентное сопротивление рассчитывается по формуле:

 \frac{1}{R_{1,2}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} 

Подставим значения:
 \frac{1}{R_{1,2}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} 

Приведем к общему знаменателю:
 \frac{1}{R_{1,2}} = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} = \frac{7}{60} 

Теперь найдем [R_{1,2}]:
 R_{1,2} = \frac{60}{7} \approx 8.57 \, \Omega 

Шаг 1.2: Эквивалентное сопротивление ветви 2

Резисторы [R_3] и [R_4] также соединены параллельно. Используем ту же формулу:

 \frac{1}{R_{3,4}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} 

Подставим значения:
 \frac{1}{R_{3,4}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} 

Приведем к общему знаменателю:
 \frac{1}{R_{3,4}} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} 

Теперь найдем [R_{3,4}]:
 R_{3,4} = \frac{60}{5} = 12 \, \Omega 

Шаг 1.3: Эквивалентное сопротивление ветви 3

Резисторы [R_5] и [R_6] соединены последовательно. Для последовательного соединения эквивалентное сопротивление рассчитывается по формуле:

 R_{5,6} = R_5 + R_6 

Подставим значения:
 R_{5,6} = 15 + 10 = 25 \, \Omega 

Шаг 1.4: Общее сопротивление схемы

Теперь все три ветви соединены последовательно, поэтому общее сопротивление равно сумме их эквивалентных сопротивлений:

 R_{\text{общ}} = R_{1,2} + R_{3,4} + R_{5,6} 

Подставим значения:
 R_{\text{общ}} = 8.57 + 12 + 25 = 45.57 \, \Omega 

2. Определение токов во всех ветвях

Сначала найдем общий ток через цепь, используя закон Ома:

 I_{\text{общ}} = \frac{U_{ab}}{R_{\text{общ}}} 

Подставим значения:
 I_{\text{общ}} = \frac{100}{45.57} \approx 2.19 \, \text{А} 

Этот ток проходит через каждую ветвь последовательно. Теперь найдем токи в каждой ветви.

Шаг 2.1: Ток через ветвь 1

Напряжение на ветви 1:
 U_{1,2} = I_{\text{общ}} \cdot R_{1,2} 

Подставим значения:
 U_{1,2} = 2.19 \cdot 8.57 \approx 18.77 \, \text{В} 

Ток через каждый резистор в ветви 1:
 I_{R_1} = \frac{U_{1,2}}{R_1}, \quad I_{R_2} = \frac{U_{1,2}}{R_2} 

Подставим значения:
 I_{R_1} = \frac{18.77}{20} \approx 0.94 \, \text{А}, \quad I_{R_2} = \frac{18.77}{15} \approx 1.25 \, \text{А} 

Шаг 2.2: Ток через ветвь 2

Напряжение на ветви 2:
 U_{3,4} = I_{\text{общ}} \cdot R_{3,4} 

Подставим значения:
 U_{3,4} = 2.19 \cdot 12 \approx 26.28 \, \text{В} 

Ток через каждый резистор в ветви 2:
 I_{R_3} = \frac{U_{3,4}}{R_3}, \quad I_{R_4} = \frac{U_{3,4}}{R_4} 

Подставим значения:
 I_{R_3} = \frac{26.28}{20} \approx 1.31 \, \text{А}, \quad I_{R_4} = \frac{26.28}{30} \approx 0.88 \, \text{А} 

Шаг 2.3: Ток через ветвь 3

Напряжение на ветви 3:
 U_{5,6} = I_{\text{общ}} \cdot R_{5,6} 

Подставим значения:
 U_{5,6} = 2.19 \cdot 25 \approx 54.75 \, \text{В} 

Ток через резисторы в ветви 3 одинаков, так как они соединены последовательно:
 I_{R_5} = I_{R_6} = \frac{U_{5,6}}{R_{5,6}} 

Подставим значения:
 I_{R_5} = I_{R_6} = \frac{54.75}{25} \approx 2.19 \, \text{А} 

Ответ:

1. Общее сопротивление схемы:
   [R_{\text{общ}} \approx 45.57 \, \Omega]

2. Токи:

   • Ток через [R_1]: [I_{R_1} \approx 0.94 \, \text{А}]
   • Ток через [R_2]: [I_{R_2} \approx 1.25 \, \text{А}]
   • Ток через [R_3]: [I_{R_3} \approx 1.31 \, \text{А}]
   • Ток через [R_4]: [I_{R_4} \approx 0.88 \, \text{А}]
   • Ток через [R_5] и [R_6]: [I_{R_5} = I_{R_6} \approx 2.19 \, \text{А}]