Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полуокольца с равномерным зарядом

Это задание по физике, раздел "Электростатика". Необходимо найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полуокольца с равномерным зарядом.

Решение:

1. Найдем напряженность электрического поля \( \vec{E} \):

Полукруг можно разбить на множество мелких элементов заряда \( dq \), расположенных на дуге. Каждый элемент создает малое электрическое поле \( d\vec{E} \) в центре полукруга. Рассмотрим элемент заряда \( dq \), он находится на дуге радиусом \( R \) на угле \( \theta \) относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной линии полукруга. Электрическое поле от этого элемента:

\[ dE = \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \]

Из-за симметрии системы компоненты полей \( dE \) вертикально вверх и вниз взаимно уничтожатся, и останется только горизонтальная составляющая \( dE_x \). Горизонтальная составляющая:

\[ dE_x = dE \cos \theta = \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \cos \theta \]

Суммарное электрическое поле в центре полукруга:

\[ E = \int dE_x = \int \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \cos \theta \]

Заряд распределен равномерно, поэтому:

\[ dq = \lambda R d\theta \]

\[ \lambda = \frac{Q}{\pi R} \]

Подставляем \( dq \):

\[ E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda R d\theta \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 R} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \, d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 R} \left[ \sin \theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} \]

Так как \( \sin(\pi/2) = 1 \) и \( \sin(-\pi/2) = -1 \):

\[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot 2 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 R} \]

Подставляем \( \lambda \):

\[ E = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \]

2. Найдем потенциал электрического поля \( V \):

Потенциал в центре полукруга определяется суммой потенциальных вкладов от каждого элемента заряда \( dq \). Потенциал от элемента заряда \( dq \) на расстоянии \( R \):

\[ dV = \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 R} \]

Полный потенциал в центре:

\[ V = \int dV = \int \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 R} \]

Подставляем \( dq = \lambda R d\theta \):

\[ V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda R d\theta}{4 \pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \pi \]

Подставим \( \lambda \):

\[ V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot \pi = \frac{Q}{4 \epsilon_0 R} \]

Ответ:

Напряженность электрического поля в центре полукруга:

\[ E = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \]

Потенциал электрического поля в центре полукруга:

\[ V = \frac{Q}{4 \epsilon_0 R} \]