Найти напряженность H магнитного поля в центре шестиугольника

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Магнитное поле токов

Условие задачи:

По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника со стороной длины [a = 20\ \text{см}], течёт ток [I = 100\ \text{А}].
Найти:

1. Напряжённость магнитного поля [H] в центре шестиугольника.
2. Для сравнения найти напряжённость [H_0] магнитного поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около шестиугольника.

Шаг 1: Напряжённость магнитного поля в центре шестиугольника

Правильный шестиугольник можно представить как 6 одинаковых прямолинейных проводников, изогнутых под углом 60° и сходящихся в центре. Нам нужно найти вклад каждой стороны в магнитное поле в центре шестиугольника.

Для бесконечно длинного прямого провода магнитное поле на расстоянии [r] от него:

H = \frac{I}{2\pi r}

Но в нашем случае провод конечной длины, и мы ищем поле в точке, лежащей на оси отрезка. Для прямолинейного проводника конечной длины, создающего магнитное поле в точке, лежащей на перпендикуляре к его середине, формула напряжённости магнитного поля:

H = \frac{I}{4\pi r} (\sin\theta_1 + \sin\theta_2)

Где:

• [r] — расстояние от центра отрезка до точки наблюдения,
• [\theta_1] и [\theta_2] — углы между направлением провода и линией, соединяющей его концы с точкой наблюдения.

В центре правильного шестиугольника все 6 сторон одинаково удалены и симметричны, и каждый отрезок даёт одинаковый вклад в поле. Воспользуемся известным результатом для магнитного поля в центре правильного многоугольника из [n] сторон:

H = \frac{n I \sin(\pi/n)}{2\pi R}

Где:

• [n = 6] — число сторон,
• [R] — расстояние от центра до стороны (апофема).

Но поскольку нам дано [a = 20\ \text{см}] — длина стороны, нам нужно выразить [R] через [a].

Шаг 2: Геометрия правильного шестиугольника

В правильном шестиугольнике:

• Радиус описанной окружности [R_{\text{окр}}] равен длине стороны:
  R_{\text{окр}} = a

• Расстояние от центра до середины стороны (апофема) обозначим как [r]:

r = R_{\text{окр}} \cos(\pi/n) = a \cos(\pi/6) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

Шаг 3: Магнитное поле от одной стороны

Можно использовать другой подход: найти поле от одной стороны и умножить на 6. Для прямолинейного отрезка длины [a], находящегося на расстоянии [r = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}] от центра, и под углом 30° к этому направлению, напряжённость поля в центре:

H_{\text{одна}} = \frac{I}{4\pi r} (\sin\theta + \sin\theta) = \frac{I}{2\pi r} \sin\theta

Здесь [\theta = 30^\circ], т.к. каждый отрезок образует угол 30° с линией от его конца к центру.

Тогда:

H_{\text{одна}} = \frac{I}{2\pi r} \sin(30^\circ) = \frac{I}{2\pi r} \cdot \frac{1}{2} = \frac{I}{4\pi r}

Теперь умножим на 6:

H = 6 \cdot \frac{I}{4\pi r} = \frac{3I}{2\pi r}

Подставим [r = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]:

H = \frac{3I}{2\pi \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3I}{\pi a \sqrt{3}} = \frac{I}{\pi a} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{I \sqrt{3}}{\pi a}

Подставим значения:

• [I = 100\ \text{А}]
• [a = 20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м}]

H = \frac{100 \cdot \sqrt{3}}{\pi \cdot 0{,}2} = \frac{100 \cdot 1{,}732}{0{,}628} \approx \frac{173{,}2}{0{,}628} \approx 275{,}9\ \text{А/м}

Шаг 4: Напряжённость поля в центре кругового тока

Для кругового тока радиуса [R], ток [I], напряжённость магнитного поля в центре:

H_0 = \frac{I}{2R}

В нашем случае [R = a = 0{,}2\ \text{м}]

H_0 = \frac{100}{2 \cdot 0{,}2} = \frac{100}{0{,}4} = 250\ \text{А/м}

Ответ:

• Напряжённость магнитного поля в центре шестиугольника:
  H \approx 275{,}9\ \text{А/м}

• Напряжённость магнитного поля в центре кругового провода:
  H_0 = 250\ \text{А/м}

Вывод:

Напряжённость магнитного поля в центре шестиугольника немного больше, чем у кругового тока, вписанного в ту же окружность. Это связано с тем, что в случае шестиугольника токи ближе к центру в среднем, чем в круге.