Найти массу m каждого шарика

Определение предмета и раздела

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм (Электростатика)

Условие задачи 9.22

Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q_0 = 0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2\alpha = 60^\circ. Найти массу m каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 20 см.

Решение

1. Анализ сил, действующих на шарики
После сообщения заряда шарики отталкиваются и устанавливаются в равновесии под углом 2\alpha. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков:

• Сила тяжести: mg, направлена вниз.
• Сила натяжения нити: T, направлена вдоль нити.
• Кулоновская сила: F_k = \frac{k q_0^2}{r^2}, направлена горизонтально.

2. Геометрические соотношения
Так как длина нити l, а угол размаха 2\alpha, то расстояние между шариками (центрами)
r = 2l \sin \alpha.
Так как 2\alpha = 60^\circ, то \alpha = 30^\circ, и
r = 2 \cdot 20 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 20 \cdot 0.5 = 20 см = 0.2 м.

3. Рассмотрение равновесия шарика
Рассмотрим проекции сил на оси:

• По горизонтали:
  F_k = T \sin \alpha.
• По вертикали:
  T \cos \alpha = mg.

Из второго уравнения выразим натяжение нити:
T = \frac{mg}{\cos \alpha}.

Подставим в первое уравнение:
\frac{k q_0^2}{r^2} = \frac{mg}{\cos \alpha} \sin \alpha.

4. Выражение для массы
Подставляем значения:

• k = 9 \cdot 10^9 Н·м²/Кл²,
• q_0 = 0,4 мкКл = 0,4 \cdot 10^{-6} Кл,
• r = 0,2 м,
• \sin 30^\circ = 0,5,
• \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

 \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (0,4 \cdot 10^{-6})^2}{(0,2)^2} = \frac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 0,5 

Вычисляем:
 \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 0,16 \cdot 10^{-12}}{0,04} = \frac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 0,5 

 \frac{1,44 \cdot 10^{-3}}{0,04} = \frac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 0,5 

 0,036 = \frac{mg}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 0,5 

 mg = \frac{0,036 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,5} 

 mg = \frac{0,036 \cdot \frac{1,732}{2}}{0,5} 

 mg = \frac{0,036 \cdot 0,866}{0,5} 

 mg = \frac{0,0312}{0,5} = 0,0624 

Так как g \approx 9,8 м/с²,
 m = \frac{0,0624}{9,8} \approx 0,0064 \text{ кг} = 6,4 \text{ г}. 

Ответ

Масса каждого шарика: 6,4 г.