Найти магнитную индукцию B в центре прямоугольной рамки из тонкого провода со сторонами a и b, по которому течет ток I

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Магнитное поле тока

Задача:
Найти магнитную индукцию B в центре прямоугольной рамки из тонкого провода со сторонами a и b, по которому течет ток I.

Подробное решение:

Рассмотрим прямоугольную рамку, по которой течет ток I. Стороны рамки имеют длины a и b. Требуется найти магнитную индукцию B в центре этой рамки.

Для начала напомним, что магнитное поле, создаваемое прямолинейным участком провода с током в точке, лежащей на перпендикуляре к середине проводника, можно найти по формуле:

 B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left( \sin\theta_1 + \sin\theta_2 \right) 

где:

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Гн/м} — магнитная постоянная,
• I — ток,
• r — расстояние от проводника до точки наблюдения (в нашем случае — до центра рамки),
• \theta_1 и \theta_2 — углы между направлениями к концам проводника и перпендикуляром к нему через точку наблюдения.

Геометрия задачи:

Центр прямоугольной рамки находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх её сторон. Каждая сторона рамки представляет собой прямолинейный провод.

Рассмотрим одну сторону длиной a. Центр рамки находится на расстоянии r = \frac{b}{2} от этой стороны (если она горизонтальная). Аналогично, для стороны длиной b расстояние до центра будет \frac{a}{2}.

Поскольку все четыре стороны создают магнитное поле в центре, мы можем просуммировать вклад каждой из них.

Вклад одной стороны в магнитную индукцию:

Рассмотрим горизонтальную сторону длиной a. Центр рамки находится на расстоянии r = \frac{b}{2} от неё. Углы \theta_1 и \theta_2 равны:

 \theta_1 = \theta_2 = \arctan\left( \frac{a/2}{b/2} \right) = \arctan\left( \frac{a}{b} \right) 

Тогда вклад одной горизонтальной стороны в магнитную индукцию в центре:

 B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi \cdot (b/2)} \cdot \left( \sin\theta + \sin\theta \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi b} \cdot \sin\left( \arctan\left( \frac{a}{b} \right) \right) 

Используем тригонометрическое тождество:

 \sin\left( \arctan\left( \frac{a}{b} \right) \right) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} 

Подставим:

 B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi b} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} 

Таких сторон две (верхняя и нижняя), и они создают магнитное поле в одну и ту же сторону (по правилу правой руки), значит:

 B_{\text{гор}} = 2B_1 = \frac{\mu_0 I}{\pi b} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} 

Аналогично для вертикальных сторон длиной b:

 B_{\text{верт}} = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} 

Полная магнитная индукция в центре рамки:

 B = B_{\text{гор}} + B_{\text{верт}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \left( \frac{a}{b\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{b}{a\sqrt{a^2 + b^2}} \right) 

Приведем к общему знаменателю:

 B = \frac{\mu_0 I}{\pi \sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) = \frac{\mu_0 I}{\pi \sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a^2 + b^2}{ab} \right) 

Итак, окончательная формула:

 B = \frac{\mu_0 I (a^2 + b^2)}{\pi ab \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{a^2 + b^2}}{\pi ab} 

Ответ:

 \boxed{B = \frac{\mu_0 I \sqrt{a^2 + b^2}}{\pi ab}} 

где:

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Гн/м},
• a и b — длины сторон рамки,
• I — ток.