Найти дисперсию напряжения шума на выходе LR-цепи

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Электрические шумы (шум Джонсона-Найквиста)

Условие задачи:

Найти дисперсию (то есть среднеквадратичное значение) напряжения шума на выходе LR-цепи, если:

• Сопротивление резистора:
  [R = 10\,\text{k}\Omega = 10^4\,\Omega]

• Температура:
  [t = 20^\circ\text{C} \Rightarrow T = 293\,\text{K}] (переведено в Кельвины: [T = 273 + 20])

• Идеальный ФНЧ (фильтр низких частот) с полосой пропускания:
  [\delta f] (полоса пропускания в герцах)

Теория:

Тепловой (джонсоновский) шум резистора описывается формулой Найквиста:

[\overline{u^2} = 4 k_B T R \delta f]

где:

• [\overline{u^2}] — дисперсия (среднеквадратичное значение) напряжения шума,
• [k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\text{Дж/К}] — постоянная Больцмана,
• [T] — абсолютная температура в Кельвинах,
• [R] — сопротивление резистора,
• [\delta f] — полоса пропускания (в Гц).

Решение:

Подставим известные значения в формулу:

 \overline{u^2} = 4 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 293 \cdot 10^4 \cdot \delta f 

Выполним поэтапные вычисления:

1. Умножим постоянную Больцмана на температуру:

 1.38 \times 10^{-23} \cdot 293 = 4.0434 \times 10^{-21} 

2. Умножим на 4 и на [10^4] (сопротивление):

 4 \cdot 4.0434 \times 10^{-21} \cdot 10^4 = 1.61736 \times 10^{-16} 

3. Итак, дисперсия напряжения шума:

 \overline{u^2} = 1.61736 \times 10^{-16} \cdot \delta f \quad \text{(в В}^2\text{)} 

Ответ:

Дисперсия шума на выходе LR-цепи:

 \boxed{\overline{u^2} = 1.62 \times 10^{-16} \cdot \delta f\,\,\text{(В}^2\text{)}} 

где [\delta f] — полоса пропускания в герцах.