Рассчитать ток через резистор

Предмет: Физика
Раздел: Электрические цепи постоянного тока

Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа. Нам нужно рассчитать ток через резистор ( R_4 ), используя заданные параметры.

Дано:

• ( E_1 = 24 \, \text{В} ),
• ( E_2 = 38 \, \text{В} ),
• ( U_2 = 54 \, \text{В} ),
• ( U_3 = 84 \, \text{В} ),
• ( R_4 = 40 \, \Omega ).

Обозначения:

• ( I_1, I_2, I_3, I_4 ) — токи в ветвях цепи.

Шаг 1. Запишем уравнения по законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа (узловое правило):

В узле, где сходятся токи ( I_3 ), ( I_4 ), и ( I_2 ): I_3 = I_4 + I_2.

Второй закон Кирхгофа (контурное правило):

Для первого контура (с ( E_1 ), ( R_3 ), ( R_4 )): E_1 - I_3 R_3 - I_4 R_4 = 0.

Для второго контура (с ( E_2 ), ( R_2 ), ( R_4 )): E_2 - I_2 R_2 - I_4 R_4 = 0.

Шаг 2. Подставим численные значения.

1. Уравнение для первого контура: 24 - I_3 \cdot 54 - I_4 \cdot 40 = 0, или 24 = 54 I_3 + 40 I_4.

2. Уравнение для второго контура: 38 - I_2 \cdot 84 - I_4 \cdot 40 = 0, или 38 = 84 I_2 + 40 I_4.

3. Узловое уравнение: I_3 = I_4 + I_2.

Шаг 3. Выразим токи.

Из узлового уравнения: I_2 = I_3 - I_4.

Подставим ( I_2 ) в уравнение второго контура: 38 = 84 (I_3 - I_4) + 40 I_4, 38 = 84 I_3 - 84 I_4 + 40 I_4, 38 = 84 I_3 - 44 I_4.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 24 = 54 I_3 + 40 I_4,
2. 38 = 84 I_3 - 44 I_4.

Шаг 4. Решим систему уравнений.

1. Из первого уравнения выразим ( I_3 ): I_3 = \frac{24 - 40 I_4}{54}.

2. Подставим это выражение во второе уравнение: 38 = 84 \cdot \frac{24 - 40 I_4}{54} - 44 I_4.

Упростим: 38 = \frac{2016 - 3360 I_4}{54} - 44 I_4, 38 = \frac{2016}{54} - \frac{3360 I_4}{54} - 44 I_4.

Выполним вычисления: \frac{2016}{54} \approx 37.33, 38 = 37.33 - \frac{3360 I_4}{54} - 44 I_4.

Преобразуем: 38 - 37.33 = - \frac{3360 I_4}{54} - 44 I_4, 0.67 = - \frac{3360 I_4}{54} - 44 I_4.

Объединим коэффициенты при ( I_4 ): 0.67 = - I_4 \left( \frac{3360}{54} + 44 \right).

Выполним вычисления: \frac{3360}{54} \approx 62.22, 0.67 = - I_4 (62.22 + 44), 0.67 = - I_4 \cdot 106.22.

Найдем ( I_4 ): I_4 = - \frac{0.67}{106.22} \approx -0.0063 \, \text{А}.

Ответ:

I_4 \approx -0.0063 \, \text{А}.