Определить время t, через которое сила тока достигнет половины от максимального значения после отключения источника тока

Предмет: Физика

Раздел: Электрические цепи (переходные процессы в цепях с индуктивностью)

Условие задачи:

Цепь состоит из катушки с индуктивностью L = 3 \, \text{мГн} и резистора с сопротивлением R = 15 \, \text{Ом}. Определить время t, через которое сила тока достигнет половины от максимального значения после отключения источника тока. Ответ дать в миллисекундах (мс) с округлением до сотых.

Решение:

1. Закон изменения тока в RL-цепи:

После отключения источника тока в RL-цепи ток убывает по экспоненциальному закону: I(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}},
где:

• I(t) — ток в момент времени t,
• I_0 — начальный ток (максимальное значение тока),
• \tau = \frac{L}{R} — постоянная времени цепи,
• L — индуктивность,
• R — сопротивление.

2. Условие задачи:

Сила тока должна достигнуть половины от максимального значения, то есть:
I(t) = \frac{I_0}{2}.

Подставим это в уравнение:
\frac{I_0}{2} = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}.

Сократим на I_0 (при I_0 \neq 0):
\frac{1}{2} = e^{-\frac{t}{\tau}}.

Применим натуральный логарифм:
\ln{\frac{1}{2}} = -\frac{t}{\tau}.

Зная, что \ln{\frac{1}{2}} = -\ln{2}, получаем:
-\ln{2} = -\frac{t}{\tau}.

Сократим знак минуса:
\ln{2} = \frac{t}{\tau}.

Выразим t:
t = \tau \cdot \ln{2}.

3. Найдем постоянную времени \tau:

\tau = \frac{L}{R}.

Подставим значения:
L = 3 \, \text{мГн} = 3 \cdot 10^{-3} \, \text{Гн}, \, R = 15 \, \text{Ом}.

\tau = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{15} = 2 \cdot 10^{-4} \, \text{с} = 0{,}2 \, \text{мс}.

4. Вычислим время t:

t = \tau \cdot \ln{2}.

Подставим \tau = 0{,}2 \, \text{мс} и \ln{2} \approx 0{,}693:
t = 0{,}2 \cdot 0{,}693 = 0{,}1386 \, \text{мс}.

Округлим до сотых:
t \approx 0{,}14 \, \text{мс}.

Ответ:

t = 0{,}14 \, \text{мс}.