Определение длины волны главной линии серии Бальмера для позитрония

Данное задание относится к разделу, связанному с квантовой физикой и атомной физикой.

Задача 1: Определение длины волны главной линии серии Бальмера для позитрония.

Условие задачи:

Граница водородной серии Пашена имеет длину волны $\text{(}{\lambda }_{\mathrm{\infty }}=820,6\text{нм}\text{)}$. Требуется найти длину волны главной линии $\text{(}{\lambda }_{\alpha }\text{)}$ серии Бальмера для позитрония. Позитроний — это система, состоящая из электрона и позитрона, которые вращаются вокруг общего центра масс, подобно электрону и протону в атоме водорода.

Решение:

1. Серия Бальмера — это серия спектральных линий для электронов, переходящих на второй энергетический уровень. Для вычисления длины волны спектральных линий Бальмера следует использовать формулу Ридберга для атомов водорода:
   $\text{[}\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}),\text{]}$
   где:
   • $\text{(}\lambda \text{)}$ — длина волны излучения,
   • $\text{(}R\text{)}$ — постоянная Ридберга ($\text{(}{R}_H\approx \mathrm{1,097}\cdot {10}^7{\text{м}}^{-1}\text{)}$ для водорода),
   • $\text{(}{n}_1\text{)}$ — основной энергетический уровень (здесь $\text{(}{n}_1=2\text{)}$ для серии Бальмера),
   • $\text{(}{n}_2\text{)}$ — конечный энергетический уровень (для главной линии $\text{(}{n}_2=3\text{)}$).
2. Постоянная Ридберга для позитрония: Поскольку в позитронии два заряда равны по величине (электрон и позитрон имеют одинаковую массу), постоянная Ридберга для позитрония $\text{(}{R}_p\text{)}$ будет в два раза меньше, чем для атома водорода:
   $\text{[}{R}_p=\frac{R_H}{2},\text{]}$
   где $\text{(}{R}_p\approx \mathrm{0,548}\cdot {10}^7{\text{м}}^{-1}\text{)}$.
3. Расчёт длины волны: Подставим значения в формулу для длины волны:
   $\text{[}\frac{1}{{\lambda }_{\alpha }}=R_p(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}).\text{]}$
   Вычислим разность в скобках:
   $\text{[}\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.\text{]}$
   Теперь подставим значение $\text{(}{R}_p\text{)}$:
   $\text{[}\frac{1}{{\lambda }_{\alpha }}=\mathrm{0,548}\cdot {10}^7\cdot \frac{5}{36}=\mathrm{0,076}11\cdot {10}^7{\text{м}}^{-1}.\text{]}$
   Найдём длину волны:
   $\text{[}{\lambda }_{\alpha }=\frac{1}{\mathrm{0,076}11\cdot {10}^7}\approx \mathrm{1,313}\cdot {10}^{-6}\text{м}=1313\text{нм}.\text{]}$

Ответ:

Длина волны главной линии серии Бальмера для позитрония составляет $\text{(}{\lambda }_{\alpha }\approx 1313\text{нм}\text{)}$.