Вычислить индекс Херфиндаля – Хиршмана

Определение предмета и раздела

Данный вопрос относится к экономике, а именно к теории конкуренции и антимонопольному регулированию. В задаче рассматривается индекс Херфиндаля – Хиршмана (HHI), который используется для оценки концентрации рынка.

Решение

Индекс Херфиндаля – Хиршмана (HHI) рассчитывается по формуле:

 HHI = \sum_{i=1}^{N} s_i^2 

где s_i — доля i-й фирмы на рынке.

Шаг 1: Выразим начальное значение индекса HHI

До изменений:

 HHI_0 = s_1^2 + s_2^2 + s_3^2 + \sum_{i=4}^{N} s_i^2 

Шаг 2: Рассмотрим изменения на рынке

1. Фирму №1 разделили на две равные части, каждая из которых имеет долю \frac{s_1}{2}.
2. Фирмы №2 и №3 объединили в одну с долей s_2 + s_3.

Шаг 3: Выразим новый индекс HHI

После изменений:

• Вклад фирмы №1: вместо s_1^2 теперь две фирмы с долями \frac{s_1}{2}, то есть:

   \left( \frac{s_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{s_1}{2} \right)^2 = \frac{s_1^2}{4} + \frac{s_1^2}{4} = \frac{s_1^2}{2} 

• Вклад объединенной фирмы (№2 и №3):

   (s_2 + s_3)^2 

Таким образом, новый индекс:

 HHI_1 = \frac{s_1^2}{2} + (s_2 + s_3)^2 + \sum_{i=4}^{N} s_i^2 

Шаг 4: Сравним HHI_1 и HHI_0

Разница между индексами:

 HHI_1 - HHI_0 = \left( \frac{s_1^2}{2} - s_1^2 \right) + \left( (s_2 + s_3)^2 - (s_2^2 + s_3^2) \right) 

Упрощаем:

 HHI_1 - HHI_0 = -\frac{s_1^2}{2} + (s_2^2 + 2s_2s_3 + s_3^2 - s_2^2 - s_3^2) 

 HHI_1 - HHI_0 = -\frac{s_1^2}{2} + 2s_2s_3 

Вывод

• Если  2s_2s_3 > \frac{s_1^2}{2} , то  HHI_1 > HHI_0  (концентрация увеличилась).
• Если  2s_2s_3 < \frac{s_1^2}{2} , то  HHI_1 < HHI_0  (концентрация снизилась).
• Если  2s_2s_3 = \frac{s_1^2}{2} , то  HHI_1 = HHI_0  (концентрация не изменилась).

Таким образом, влияние на индекс зависит от конкретных значений s_1, s_2 и s_3. Однако в большинстве случаев объединение фирм приводит к увеличению концентрации, а разделение — к её снижению.