Доказательство, что сумма долей всех фирм равна 1

Предмет: Экономика

Раздел: Теория отраслевых рынков, рыночная концентрация

Решение заданий:

1. Доказательство, что сумма долей всех фирм равна 1:
   Дана бесконечная геометрическая прогрессия:
   s_i = (1 - q) q^{i-1}.
   Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом a_1 = (1 - q) и знаменателем q вычисляется по формуле:
   \sum_{i=1}^{\infty} s_i = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{(1 - q)}{1 - q} = 1.
   Следовательно, сумма всех долей равна 1.

2. Доказательство убывания долей фирм:
   Необходимо показать, что s_i \geq s_{i+1} для любого i:
   s_{i+1} = (1 - q) q^i.
   Тогда:
   \frac{s_{i+1}}{s_i} = \frac{(1 - q) q^i}{(1 - q) q^{i-1}} = q.
   Так как q \in (0,1), то q < 1, значит, s_{i+1} \leq s_i, что доказывает убывание последовательности.

3. Вычисление индекса Херфиндаля – Хиршмана (HHI):
   Индекс HHI определяется как сумма квадратов долей всех фирм:
   HHI = \sum_{i=1}^{\infty} s_i^2.
   Подставляем выражение для s_i:
   HHI = \sum_{i=1}^{\infty} \left( (1 - q) q^{i-1} \right)^2.
   HHI = (1 - q)^2 \sum_{i=1}^{\infty} q^{2(i-1)}.
   Это снова бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом a_1 = 1 и знаменателем q^2:
   HHI = (1 - q)^2 \frac{1}{1 - q^2} = \frac{(1 - q)^2}{1 - q^2}.

4. Вычисление HHI и коэффициентов CR(k) при q = 0.2 и q = 0.4:

   • Для q = 0.2:
     HHI = \frac{(1 - 0.2)^2}{1 - 0.2^2} = \frac{0.64}{0.96} \approx 0.6667.
   • Для q = 0.4:
     HHI = \frac{(1 - 0.4)^2}{1 - 0.4^2} = \frac{0.36}{0.84} \approx 0.4286.

5. Коэффициент концентрации CR(k):
   CR(k) = \sum_{i=1}^{k} s_i.
   Подставляя значения s_i и вычисляя сумму первых k членов геометрической прогрессии, получаем:
   CR(k) = (1 - q) \sum_{i=1}^{k} q^{i-1} = (1 - q) \frac{1 - q^k}{1 - q}.
   Упрощаем:
   CR(k) = 1 - q^k.

   • Для q = 0.2, k = 3:
     CR(3) = 1 - 0.2^3 = 1 - 0.008 = 0.992.
   • Для q = 0.4, k = 3:
     CR(3) = 1 - 0.4^3 = 1 - 0.064 = 0.936.

6. Вывод:

   • Чем больше q, тем меньше концентрация (меньше HHI).
   • При q = 0.2 концентрация выше, чем при q = 0.4.
   • Значения CR(3) показывают, что три крупнейшие фирмы контролируют почти весь рынок.
   • Высокие значения HHI и CR(k) указывают на высокую концентрацию и низкую конкуренцию.