Найти Функцию прибыли. 2. Максимальную прибыль и при какой цене она достигается

Условие:

Решение:

### Анализ задачи Давайте разберем данное задание и выполним его шаг за шагом. **Дано:** 1. Объем продаж при цене 1800 рублей - 100 телевизоров в неделю. 2. Объем продаж при цене 1900 рублей - 80 телевизоров в неделю. 3. Фиксированные издержки - 50 тыс. рублей в неделю. 4. Переменные издержки - 800 рублей на один телевизор. Полагаем, что спрос определяется линейным законом. **Необходимо найти:** 1. Функцию прибыли. 2. Максимальную прибыль и при какой цене она достигается. ### Решение 1. **Построим линейную зависимость объема продаж от цены:** - Пусть \( p \) - цена. - Пусть \( q \) - объем продаж. Нам известны две точки: (1800, 100) и (1900, 80). **Используем уравнение линейной функции:** \[ q = ap + b \] Подставляем известные точки: Для \( p = 1800 \): \[ 100 = a \cdot 1800 + b \quad \text{(1)} \] Для \( p = 1900 \): \[ 80 = a \cdot 1900 + b \quad \text{(2)} \] Решим систему уравнений (1) и (2): Из (1): \[ b = 100 - 1800a \] Подставляем в (2): \[ 80 = 1900a + (100 - 1800a) \] \[ 80 = 100 + 100a \] \[ -20 = 100a \] \[ a = -\frac{1}{5} \] Подставим \( a \) в выражение для \( b \): \[ b = 100 - 1800 \cdot (-\frac{1}{5}) \] \[ b = 100 + 360 \] \[ b = 460 \] Таким образом, линейная зависимость объема продаж от цены: \[ q(p) = -\frac{1}{5}p + 460 \] 2. **Запишем функцию прибыли:** **Доход:** \[ Доход = p \cdot q = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) \] **Затраты:** \[ Затраты = 50 000 + 800q \] \[ Затраты = 50 000 + 800 \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) \] **Прибыль:** \[ Прибыль = p \cdot \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - \left(50 000 + 800 \left(-\frac{1}{5}p + 460\right)\right) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - (50,000 + 800(-\frac{1}{5}p + 460)) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - (50 000 - 160p + 368 000) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - 418 000 + 160p \] \[ \Pi(p) = -\frac{1}{5}p^2 + 460p - 418 000 + 160p \] \[ \Pi(p) = -\frac{1}{5}p^2 + 620p - 418 000 \] 3. **Максимизация прибыли:** Прибыль максимальна, когда первая производная функции прибыли равна нулю: \[ \frac{d \Pi}{dp} = -\frac{2}{5}p + 620 = 0 \] \[ -\frac{2}{5}p + 620 = 0 \] \[ -2p + 3100 = 0 \] \[ 3100 = 2p \] \[ p = 1550 \] При цене 1550 рублей, объем продаж: \[ q(1550) = -\frac{1}{5} \cdot 1550 + 460 \] \[ q(1550) = -310 + 460 \] \[ q(1550) = 150 \] 4. **Максимальная прибыль:** \[ \Pi(1550) = -\frac{1}{5}(1550)^2 + 620(1550) - 418,000 \] \[ \Pi(1550) = -\frac{1}{5}(2402500) + 961000 - 418000 \] \[ \Pi(1550) = -480500 + 961000 - 418000 \] \[ \Pi(1550) = 62500 \] **Ответ: Максимальная прибыль составляет 62 500 рублей при цене 1550 рублей.**