Найти Функцию прибыли. 2. Максимальную прибыль и при какой цене она достигается

Анализ задачи

Давайте разберем данное задание и выполним его шаг за шагом.

1. Объем продаж при цене 1800 рублей - 100 телевизоров в неделю.
2. Объем продаж при цене 1900 рублей - 80 телевизоров в неделю.
3. Фиксированные издержки - 50 тыс. рублей в неделю.
4. Переменные издержки - 800 рублей на один телевизор.

Полагаем, что спрос определяется линейным законом.

1. Функцию прибыли.
2. Максимальную прибыль и при какой цене она достигается.

Решение

1. Построим линейную зависимость объема продаж от цены:
   • Пусть \( p \) - цена.
   • Пусть \( q \) - объем продаж.

   Нам известны две точки: (1800, 100) и (1900, 80).

   Используем уравнение линейной функции:

   \[ q = a p + b \]

   Подставляем известные точки:

   Для \( p = 1800 \): \[ 100 = a \cdot 1800 + b \quad \text{(1)} \]

   Для \( p = 1900 \): \[ 80 = a \cdot 1900 + b \quad \text{(2)} \]

   Решим систему уравнений (1) и (2):

   Из (1): \[ b = 100 - 1800a \]

   Подставляем в (2): \[ 80 = 1900a + (100 - 1800a) \] \[ 80 = 100 + 100a \] \[ -20 = 100a \] \[ a = -\frac{1}{5} \]

   Подставим \( a \) в выражение для \( b \): \[ b = 100 - 1800 \cdot (-\frac{1}{5}) \] \[ b = 100 + 360 \] \[ b = 460 \]

   Таким образом, линейная зависимость объема продаж от цены: \[ q(p) = -\frac{1}{5}p + 460 \]

2. Запишем функцию прибыли:

   Доход: \[ Доход = p \cdot q = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) \]

   Затраты: \[ Затраты = 50 000 + 800q \] \[ Затраты = 50 000 + 800 \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) \]

   Прибыль: \[ Прибыль = p \cdot \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - \left(50 000 + 800 \left(-\frac{1}{5}p + 460\right)\right) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - (50,000 + 800(-\frac{1}{5}p + 460)) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - (50 000 - 160p + 368 000) \] \[ \Pi(p) = p \left(-\frac{1}{5}p + 460\right) - 418 000 + 160p \] \[ \Pi(p) = -\frac{1}{5}p^2 + 460p - 418 000 + 160p \] \[ \Pi(p) = -\frac{1}{5}p^2 + 620p - 418 000 \]

3. Максимизация прибыли:

   Прибыль максимальна, когда первая производная функции прибыли равна нулю: \[ \frac{d \Pi}{dp} = -\frac{2}{5}p + 620 = 0 \] \[ - \frac{2}{5}p + 620 = 0 \] \[ - 2p + 3100 = 0 \] \[ 3100 = 2p \] \[ p = 1550 \]

   При цене 1550 рублей, объем продаж: \[ q(1550) = -\frac{1}{5} \cdot 1550 + 460 \] \[ q(1550) = -310 + 460 \] \[ q(1550) = 150 \]

4. Максимальная прибыль: \[ \Pi(1550) = -\frac{1}{5}(1550)^2 + 620(1550) - 418,000 \] \[ \Pi(1550) = -\frac{1}{5}(2402500) + 961000 - 418000 \] \[ \Pi(1550) = -480500 + 961000 - 418000 \] \[ \Pi(1550) = 62500 \]

Ответ: Максимальная прибыль составляет 62 500 рублей при цене 1550 рублей.