Определить рыночную цену и найти оптимальное количество выпускаемой продукции

Предмет: Экономика

Раздел: Теория фирмы

Дано:

1. Общие затраты (совершенно-конкурентной фирмы): \( TC = 150 - 18Q + Q^2 \)
2. Максимальная прибыль в краткосрочном периоде: \( \Pi = 250 \).

Необходимо:

• определить рыночную цену (P);
• найти оптимальный \( Q \) (количество выпускаемой продукции).

Решение:

Шаг 1: Формула для прибыли

Прибыль \( \Pi \) рассчитывается как разность между общим доходом (TR) и общими затратами (TC):

\[ \Pi = TR - TC \]

Где:

• \( TR = P \cdot Q \) (общий доход: цена на количество).

Подставим выражение в формулу:

\[ \Pi = P \cdot Q - (150 - 18Q + Q^2) \]

Раскроем скобки:

\[ \Pi = P \cdot Q - 150 + 18Q - Q^2. \]

Шаг 2: Используем условие о максимальной прибыли

Максимальная прибыль \( \Pi = 250 \):

\[ 250 = P \cdot Q - 150 + 18Q - Q^2. \]

Упростим:

\[ 400 = P \cdot Q + 18Q - Q^2. \]

Шаг 3: Условие для оптимального выпуска (Q)

В условиях совершенной конкуренции рыночная цена P равна предельным издержкам (MC). Сначала найдем MC:

\[ TC = 150 - 18Q + Q^2. \]

Возьмем производную по \( Q \):

\[ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = -18 + 2Q. \]

Шаг 4: Подставляем в равновесие

Равновесное условие:

\[ P = MC. \]

То есть:

\[ P = -18 + 2Q. \]

Шаг 5: Выразим \( Q \) через \( P \) и подставим в уравнение прибыли

Подставим \( P = -18 + 2Q \) в уравнение прибыли:

\[ 250 = (-18 + 2Q) \cdot Q + 18Q - Q^2. \]

Раскроем скобки:

\[ 250 = -18Q + 2Q^2 + 18Q - Q^2. \]

Сгруппируем:

\[ 250 = Q^2. \]

Значит:

\[ Q = 20. \]

Шаг 6: Найдем рыночную цену (P)

Подставим \( Q = 20 \) в выражение для \( P \):

\[ P = -18 + 2Q. \]

Ответ:

• Рыночная цена \( P = 22 \);
• Оптимальный выпуск \( Q = 20 \).

\[ P = -18 + 2 \cdot 20 = 22. \]