Условие:
Полные издержки фирмы, производящей продукцию одного вида в Q единиц, заданы C(Q)=50Q+30. Вся продукция реализуется на двух рынках в количествах x и y (Q=x+y). Цена на первом рынке определяется соотношением p1=100−5x, а на втором - p2=70−y. Определите максимально возможную прибыль.
Решение:
Это задание относится к предмету "Экономика", разделу "Микроэкономика", в частности к теме оптимизации прибыли фирмы. Для определения максимально возможной прибыли нужно найти такую комбинацию выпуска (Q), которая максимизирует разность между совокупной выручкой и полными издержками.
Этапы решения:
- Выразим полные издержки: \[ C(Q) = 50Q + 30 \]
- Определим общий выпуск (Q): \[ Q = x + y \]
- Запишем функции цены на обоих рынках:
- На первом рынке (рынок x): \[ p_1 = 100 - 5x \]
- На втором рынке (рынок y): \[ p_2 = 70 - y \]
- Определим функции выручки на каждом рынке:
- Выручка на первом рынке: \[ R_1 = p_1 \cdot x = (100 - 5x) \cdot x = 100x - 5x^2 \]
- Выручка на втором рынке: \[ R_2 = p_2 \cdot y = (70 - y) \cdot y = 70y - y^2 \]
- Общая выручка (R): \[ R = R_1 + R_2 = (100x - 5x^2) + (70y - y^2) \] \[ R = 100x - 5x^2 + 70y - y^2 \]
- Запишем функцию прибыли (\(\Pi\)): \[ \Pi = R - C(Q) \] \[ \Pi = (100x - 5x^2 + 70y - y^2) - (50Q + 30) \] Подставим \Q = x + y\): \[ \Pi = 100x - 5x^2 + 70y - y^2 - 50(x + y) - 30 \] \[ \Pi = 50x - 5x^2 + 20y - y^2 - 30 \]
Оптимизация прибыли:
Для максимизации прибыли необходимо найти производные функции прибыли по x и y и приравнять их к нулю.
- Найдем частные производные функции прибыли:
- По x: \[ \frac{\partial \Pi}{\partial x} = 50 - 10x = 0 \] \[ 10x = 50 \] \[ x = 5 \]
- По y: \[ \frac{\partial \Pi}{\partial y} = 20 - 2y = 0 \] \[ 2y = 20 \] \[ y = 10 \]
- Вычислим совокупный выпуск (Q): \[ Q = x + y = 5 + 10 = 15 \]
- Определим цену на каждом из рынков:
- На первом рынке: \[ p_1 = 100 - 5x = 100 - 5(5) = 100 - 25 = 75 \]
- На втором рынке: \[ p_2 = 70 - y = 70 - 10 = 60 \]
- Расчет полной выручки: \[ R = R_1 + R_2 = (100 \cdot 5 - 5 \cdot 5^2) + (70 \cdot 10 - 10^2) \] \[ R = (500 - 125) + (700 - 100) = 375 + 600 = 975 \]
- Расчет полных издержек: \[ C(Q) = 50Q + 30 = 50 \cdot 15 + 30 = 750 + 30 = 780 \]
- Вычислим максимальную прибыль: \[ \Pi = R - C(Q) = 975 - 780 = 195 \]
Ответ: Максимально возможная прибыль фирмы составляет 195.
Все действия пояснены максимально подробно с целью определить конечный результат.