Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Полные издержки фирмы в количестве Q единиц, заданы соотношением C(Q)=50Q+30. Вся произведённая продукция реализуется на двух рынках в количествах x и y соответственно (Q=x+y). Цена на первом рынке определяется соотношением p1=100−5x, а на втором - p2=70−y. Определите максимально возможную прибыль
1. Определение прибыли через общие доходы и расходы: Для нахождения прибыли фирмы, необходимо узнать общий доход и общие издержки фирмы.
Общие издержки: \[ C(Q) = 50Q + 30 \]
Общий доход на каждом из рынков:
Первый рынок: \[ TR_1 = p_1 \cdot x = (100 - 5x)x = 100x - 5x^2 \]
Второй рынок: \[ TR_2 = p_2 \cdot y = (70 - y)y = 70y - y^2 \]
Общий доход: \[ TR = TR_1 + TR_2 = 100x - 5x^2 + 70y - y^2 \]
Общие издержки: Поскольку \( Q = x + y \), \[ C = 50(x+y) + 30 \]
Прибыль (π) фирмы: \[\pi = TR - C \] \[ \pi = (100x - 5x^2 + 70y - y^2) - [50(x+y) + 30] \] \[ \pi = 100x - 5x^2 + 70y - y^2 - 50x - 50y - 30 \] \[ \pi = 50x - 5x^2 + 20y - y^2 - 30 \]
2. Нахождение экстремума прибыли: Для максимизации прибыли находим частные производные по переменным \( x \) и \( y \), а затем, приравниваем их к нулю:
Для \( x \): \[ \frac{\partial \pi}{\partial x} = 50 - 10x = 0 \] \[ 10x = 50 \] \[ x = 5 \]
Для \( y \): \[ 20 - 2y = 0 \] \[ 2y = 20 \] \[ y = 10 \]
3. Проверка второго порядка (выпуклость функции): Для убедительности проверим наличие максимума, используя вторые производные.
Считаем вторые производные: \[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} = -10 \] \[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial y^2} = -2 \] \[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial x \partial y} = 0 \]
Матрица Гессе будет: \[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} & 0 \\ 0 & \frac{\partial^2 \pi}{\partial y^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \] Этот матриц Гессе является отрицательно-определённой (\( \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} < 0 \) и \( \frac{\partial^2 \pi}{\partial y^2} < 0 \)), что подтверждает наличие максимума.
4. Подсчет максимальной прибыли: Подставляя найденные значения в выражение для прибыли, получим:
\[ Q = x + y = 5 + 10 = 15 \]
\[ \pi = 50x - 5x^2 + 20y - y^2 - 30 \]
\[ \pi = 50(5) - 5(5)^2 + 20(10) - (10)^2 - 30 \]
\[ \pi = 250 - 125 + 200 - 100 - 30 \]
\[ \pi = 195 \]
Итак, максимальная возможная прибыль фирмы составляет 195 денежных единиц.