U(x, y) = sqrt(x*y). Определить цены товаров p1 и p2 при M = 60. U = 5*sqrt(3).
Конечно, определим предмет и раздел, к которому относится задание, а также решим его с подробным объяснением каждого действия.
Предмет: Экономика
Раздел: Микроэкономика, теория потребления
Бұл заданиенің негізгі мақсаты – тұтынушының қалауы мен бюджетіне сәйкес тауарлардың оптималды комбинациясын анықтау.
Дано:
- Функция полезности: \( U(x, y) = \sqrt{x \cdot y} \)
- Полезность: \( U = 5\sqrt{3} \)
- Доход потребителя: \( M = 60 \)
- Цены товаров: \( p_1 \) и \( p_2 \)
Шаг 1: Введем понятия и уравнения
Функция полезности \( U(x, y) = \sqrt{x \cdot y} \) показывает, как потребитель оценивает совокупное потребление двух товаров \( x \) и \( y \).
Бюджетное ограничение: \[
p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = M
\]
Шаг 2: Найти условие максимизации полезности
- Предположение об оптимальности сочетания: – Условие первого порядка (частное равновесие): \[
\frac{MU_x}{p_1} = \frac{MU_y}{p_2}
\] где \( MU_x \) и \( MU_y \) - это предельные полезности товаров \( x \) и \( y \).
- Найдите предельные полезности: \[
MU_x = \frac{\partial U(x, y)}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot y)^{-1/2} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}}
\] \[
MU_y = \frac{\partial U(x, y)}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot y)^{-1/2} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}}
\] Потому что: \[
\frac{MU_x}{p_1} = \frac{MU_y}{p_2}
\] то получаем: \[
\frac{\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{p_1} = \frac{\frac{x}{2\sqrt{xy}}}{p_2}
\] Это упрощается до: \[
\frac{y}{p_1} = \frac{x}{p_2}
\]
Шаг 3: Используем равенство предельных полезностей
В этом случае: \[
y = x \cdot \frac{p_1}{p_2}
\]
Шаг 4: Вставьте это выражение в бюджетное ограничение
Теперь подставим \( y \) в бюджетное ограничение: \[
p_1 \cdot x + p_2 \cdot \left( x \cdot \frac{p_1}{p_2} \right) = 60
\] \[
p_1 \cdot x + p_1