Определить объем покупки, при котором полезность будет максимальной

Определенно, это задача из микроэкономики, более конкретно — из раздела теории потребления и оптимального выбора.

Шаг 1: Понимание задачи

Нам даны:

• Цены товаров: \( p_x = 2 \) и \( p_y = 6 \).
• Бюджетное ограничение: \( M_0 = 90 \).
• Функция полезности: \( U(x, y) = 10x^2y \).

Нужно определить такие значения \( x \) и \( y \), при которых полезность \( U(x, y) \) максимальна при данном бюджетном ограничении.

Шаг 2: Записываем бюджетное ограничение

Бюджетное ограничение выглядит так:

\[ p_x \cdot x + p_y \cdot y = M_0 \]

Подставляем известные значения:

\[ 2x + 6y = 90 \]

Шаг 3: Записываем задачу о максимизации полезности

Нам нужно максимизировать функцию полезности \( U(x, y) = 10x^2y \) при выполнении бюджетного ограничения \( 2x + 6y = 90 \).

Шаг 4: Используем метод Лагранжа

Функция Лагранжа для этой задачи будет:

\[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = 10x^2y + \lambda (90 - 2x - 6y) \]

Шаг 5: Находим частные производные

1. Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 20xy - 2\lambda = 0 \]
2. Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 10x^2 - 6\lambda = 0 \]
3. Частная производная по \( \lambda \):
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 90 - 2x - 6y = 0 \]

Шаг 6: Решаем систему уравнений

Первое уравнение:

\[ 20xy = 2\lambda \implies 10xy = \lambda \]

Второе уравнение:

\[ 10x^2 = 6\lambda \implies \lambda = \frac{10x^2}{6} = \frac{5x^2}{3} \]

Теперь подставим значение \( \lambda \) из второго уравнения в первое:

\[ 10xy = \frac{5x^2}{3} \] \[ 30xy = 5x^2 \] \[ 6y = x \] \[ x = 6y \]

Третье уравнение:

\[ 2x + 6y = 90 \]

Подставляем \( x = 6y \):

\[ 2(6y) + 6y = 90 \] \[ 12y + 6y = 90 \] \[ 18y = 90 \] \[ y = 5 \]

Находим \( x \):

\[ x = 6y \] \[ x = 6 \times 5 \] \[ x = 30 \]

Шаг 7: Проверка на максимальность

Теперь нам нужно убедиться, что это действительно максимум. Значения \( x = 30 \) и \( y = 5 \) соответствуют нашему бюджетному ограничению:

\[ 2 \times 30 + 6 \times 5 = 60 + 30 = 90 \]

Ответ

Объем покупки, при котором полезность будет максимальной:

\[ x = 30 \] \[ y = 5 \]

Максимальная полезность:

\[ U(30, 5) = 10 \times 30^2 \times 5 = 10 \times 900 \times 5 = 45000 \]

Таким образом, при \( x = 30 \) и \( y = 5 \) покупатель достигнет максимальной полезности \( 45000 \).