Определить объем покупки, при котором полезность будет максимальной

Определенно, это задача из микроэкономики, более конкретно — из раздела теории потребления и оптимального выбора.

Шаг 1: Понимание задачи

Нам даны:

• Цены товаров: $\text{(}{p}_x=2\text{)}$ и $\text{(}{p}_y=6\text{)}$.
• Бюджетное ограничение: $\text{(}{M}_0=90\text{)}$.
• Функция полезности: $\text{(}U(x,y)=10x^{2}y\text{)}$.

Нужно определить такие значения $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$, при которых полезность $\text{(}U(x,y)\text{)}$ максимальна при данном бюджетном ограничении.

Шаг 2: Записываем бюджетное ограничение

Бюджетное ограничение выглядит так:

$\text{[}{p}_x\cdot x+p_y\cdot y=M_0\text{]}$

Подставляем известные значения:

$\text{[}2x+6y=90\text{]}$

Шаг 3: Записываем задачу о максимизации полезности

Нам нужно максимизировать функцию полезности $\text{(}U(x,y)=10x^{2}y\text{)}$ при выполнении бюджетного ограничения $\text{(}2x+6y=90\text{)}$.

Шаг 4: Используем метод Лагранжа

Функция Лагранжа для этой задачи будет:

$\text{[}\mathcal{L}(x,y,\lambda )=10x^{2}y+\lambda (90-2x-6y)\text{]}$

Шаг 5: Находим частные производные

1. Частная производная по $\text{(}x\text{)}$:
$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }x}=20xy-2\lambda =0\text{]}$
2. Частная производная по $\text{(}y\text{)}$:
$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }y}=10x^2-6\lambda =0\text{]}$
3. Частная производная по $\text{(}\lambda \text{)}$:
$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\lambda }=90-2x-6y=0\text{]}$

Шаг 6: Решаем систему уравнений

Первое уравнение:

$\text{[}20xy=2\lambda ⟹10xy=\lambda \text{]}$

Второе уравнение:

$\text{[}10x^2=6\lambda ⟹\lambda =\frac{10x^2}{6}=\frac{5x^2}{3}\text{]}$

Теперь подставим значение $\text{(}\lambda \text{)}$ из второго уравнения в первое:

$\text{[}10xy=\frac{5x^2}{3}\text{]}$ $\text{[}30xy=5x^2\text{]}$ $\text{[}6y=x\text{]}$ $\text{[}x=6y\text{]}$

Третье уравнение:

$\text{[}2x+6y=90\text{]}$

Подставляем $\text{(}x=6y\text{)}$:

$\text{[}2(6y)+6y=90\text{]}$ $\text{[}12y+6y=90\text{]}$ $\text{[}18y=90\text{]}$ $\text{[}y=5\text{]}$

Находим $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}x=6y\text{]}$ $\text{[}x=6\times 5\text{]}$ $\text{[}x=30\text{]}$

Шаг 7: Проверка на максимальность

Теперь нам нужно убедиться, что это действительно максимум. Значения $\text{(}x=30\text{)}$ и $\text{(}y=5\text{)}$ соответствуют нашему бюджетному ограничению:

$\text{[}2\times 30+6\times 5=60+30=90\text{]}$

Ответ

Объем покупки, при котором полезность будет максимальной:

$\text{[}x=30\text{]}$ $\text{[}y=5\text{]}$

Максимальная полезность:

$\text{[}U(30,5)=10\times {30}^2\times 5=10\times 900\times 5=45000\text{]}$

Таким образом, при $\text{(}x=30\text{)}$ и $\text{(}y=5\text{)}$ покупатель достигнет максимальной полезности $\text{(}45000\text{)}$.