Условие:
U(x, y) = sqrt(x*y). Определить минимальный доход M, при котором потребитель сможет получить полезность от покупки в объеме U = 5*sqrt(3), если цены на покупаемые товары равны соответственно p1 = 3 ден. ед. и p2 = 4 ден. ед.
Решение:
Задание, которое ты передал, относится к курсу "Микроэкономика", а именно к подразделу "Теория потребления и полезности".
Для решения этого задания, нам нужно определить минимальный доход потребителя (M), при котором полезность от покупки товаров \( x \) и \( y \) будет равна заданной величине \( U = 5\sqrt{3} \), при ценах на товары \( p1 = 3 \) и \( p2 = 4 \). Давайте решим задачу пошагово.
- Определение функции полезности: \( U(x, y) = \sqrt{x \cdot y} \) Из условия нам известно, что \( U = 5\sqrt{3} \).
- Определение бюджетного ограничения: Бюджетное ограничение выражается как: \[ M = p1 \cdot x + p2 \cdot y \]
- Производные функции полезности: Исключительно для удобства дальнейших вычислений, посмотрим на частные производные функции \( U(x, y) \): \[ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot y)^{-\frac{1}{2}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{x \cdot y}} \] \[ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot y)^{-\frac{1}{2}} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{x \cdot y}} \]
- Маржинальная норма замещения (MRS): \[ \text{MRS} = \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{\frac{y}{2\sqrt{x \cdot y}}}{\frac{x}{2\sqrt{x \cdot y}}} = \frac{y}{x} \] При равновесии потребителя, MRS равна отношению цен: \[ \frac{y}{x} = \frac{p1}{p2} = \frac{3}{4} \]
- Освобождение от одной переменной: Из уравнения \( y = \frac{3}{4}x \).
- Замена в функцию полезности: \[ U(x, y) = 5\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{x \cdot y} = 5\sqrt{3} \] \[ \sqrt{x \cdot \frac{3}{4}x} = 5\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{\frac{3}{4}x^2} = 5\sqrt{3} \] \[ \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot x = 5\sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = 5\sqrt{3} \] \[ x = 10 \]
- Подсчет значения \( y \): \[ y = \frac{3}{4} \cdot x = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7.5 \]
- Определение минимального дохода (M): \[ M = p1 \cdot x + p2 \cdot y = 3 \cdot 10 + 4 \cdot 7.5 = 30 + 30 = 60 \] Таким образом, минимальный доход \( M \), при котором потребитель сможет получить полезность равную \( 5\sqrt{3} \), составляет 60 денежных единиц.