Найти прирост прибыли

Предмет: Экономика

Раздел: Микроэкономика, теория монополии и ценовой дискриминации

Решение задачи:

Даны функции спроса двух групп потребителей:

1. Первая группа: P_1 = 19 - 2Q
2. Вторая группа: P_2 = 10 - Q

Также известно, что магазин-монополист может приобретать товар по цене 4 тыс. руб. (это предельные издержки).

Шаг 1: Найдем оптимальный объем выпуска без ценовой дискриминации

При отсутствии ценовой дискриминации монополист рассматривает общий спрос. Для этого сложим обратные функции спроса:

Общий спрос: Q = Q_1 + Q_2

Выразим Q_1 и Q_2 через P:

• Из первой функции спроса: Q_1 = \frac{19 - P}{2}
• Из второй функции спроса: Q_2 = 10 - P

Сложим их: Q = \frac{19 - P}{2} + (10 - P)

Приведем к общему знаменателю: Q = \frac{19 - P + 20 - 2P}{2} = \frac{39 - 3P}{2}

Выразим обратную функцию спроса: P = \frac{39 - 2Q}{3}

Функция выручки: TR = P \cdot Q = \left(\frac{39 - 2Q}{3} \right) Q = \frac{39Q - 2Q^2}{3}

Найдем предельную выручку: MR = \frac{d(TR)}{dQ} = \frac{39 - 4Q}{3}

Прибыль максимизируется, когда MR = MC, то есть: \frac{39 - 4Q}{3} = 4

Решим уравнение: 39 - 4Q = 12
4Q = 27
Q = 6.75

Подставим в функцию спроса: P = \frac{39 - 2(6.75)}{3} = \frac{39 - 13.5}{3} = \frac{25.5}{3} = 8.5

Прибыль без дискриминации: \Pi = TR - TC = P \cdot Q - MC \cdot Q
\Pi = 8.5 \cdot 6.75 - 4 \cdot 6.75
\Pi = 57.375 - 27
\Pi = 30.375

Шаг 2: Найдем прибыль при ценовой дискриминации

Для первой группы:

Обратная функция спроса: P_1 = 19 - 2Q_1
Выручка: TR_1 = (19 - 2Q_1) Q_1
Предельная выручка:
MR_1 = \frac{d(TR_1)}{dQ_1} = 19 - 4Q_1
Прибыль максимизируется при MR_1 = MC:
19 - 4Q_1 = 4
4Q_1 = 15
Q_1 = 3.75
P_1 = 19 - 2(3.75) = 11.5

Для второй группы:

Обратная функция спроса: P_2 = 10 - Q_2
Выручка: TR_2 = (10 - Q_2) Q_2
Предельная выручка:
MR_2 = \frac{d(TR_2)}{dQ_2} = 10 - 2Q_2
Прибыль максимизируется при MR_2 = MC:
10 - 2Q_2 = 4
2Q_2 = 6
Q_2 = 3
P_2 = 10 - 3 = 7

Общая прибыль при дискриминации:

\Pi = (P_1 \cdot Q_1 + P_2 \cdot Q_2) - MC(Q_1 + Q_2)
\Pi = (11.5 \cdot 3.75 + 7 \cdot 3) - 4(3.75 + 3)
\Pi = (43.125 + 21) - 4(6.75)
\Pi = 64.125 - 27
\Pi = 37.125

Шаг 3: Найдем прирост прибыли

\Delta \Pi = 37.125 - 30.375 = 6.75

Ответ: Прибыль увеличится на 6.75 тыс. рублей при проведении ценовой дискриминации.