Найти оптимальный объем производства при цене 500 руб. Найти, при каких ценах фирма будет получать прибыль, при каких нести убытки, а при каких ей выгоднее всего закрыться

Предмет: Экономика, раздел: Теория фирмы в условиях совершенной конкуренции

Для решения задачи нужно определить оптимальный объем производства и проанализировать, при каких ценах фирма будет получать прибыль, нести убытки или закрываться.

1. Суммарные издержки (TC): \[ TC = 4q^2 + 10q + 50 \]
2. Находим предельные издержки (MC): \[ MC = \frac{d(TC)}{dq} = \frac{d(4q^2 + 10q + 50)}{dq} = 8q + 10 \]
3. Оптимальный объем производства (q*) при цене 500 руб. в условиях совершенной конкуренции определяется уравниванием цены и предельных издержек: \[ P = MC \] \[ 500 = 8q + 10 \] Решаем уравнение для \( q \): \[ 8q + 10 = 500 \] \[ 8q = 490 \] \[ q = \frac{490}{8} = 61.25 \] Оптимальный объем производства \( q^* = 61.25 \) единиц.
4. При каких ценах фирма будет получать прибыль, нести убытки или закрываться. Для этого нужно найти средние переменные издержки (AVC) и средние полные издержки (ATC)
   • Средние переменные издержки (AVC): \[ TC = FC + VC \] Фиксированные издержки (FC) равны 50 (это постоянная, не зависящая от \(q\)). Переменные издержки (VC) равны \( 4q^2 + 10q \). \[ AVC = \frac{VC}{q} = \frac{4q^2 + 10q}{q} = 4q + 10 \]
   • Средние полные издержки (ATC): \[ ATC = \frac{TC}{q} = \frac{4q^2 + 10q + 50}{q} = 4q + 10 + \frac{50}{q} \]
5. Анализ условий: \(\textbf{Прибыль}: P > ATC\) \(\textbf{Убытки (продолжение работы): ATC \ge P \ge AVC}\) \(\textbf{Закрытие фирмы}: P < AVC\)
6. Точка закрытия фирмы: Цена, при которой фирма будет закрываться, равна минимальным средним переменным издержкам (AVC): \[ AVC = 4q + 10 \] Найдем производную AVC, чтобы найти минимум: \[ \frac{d(AVC)}{dq} = 4 \] Так как производная постоянна и положительна, \(AVC\) возрастает во всем диапазоне \(q\). Следовательно, минимальная \(AVC\) наименьшая при \(q \to 0\): \[ AVC \to 10 \]
7. Заключение: Фирма будет закрываться, если \(цена < 10\ руб\).
8. Вывод: - Фирма будет получать прибыль при цене \(P > ATC\). - Фирма будет нести убытки, но продолжать работать при цене \(10 \le P < ATC\). - Фирме выгоднее закрыться при цене \(P < 10\ руб\).