Найти оптимальный объем продаж на внутреннем и внешнем рынках

Предмет: Экономика

Раздел: Микроэкономика, теория монополии и ценообразования

Дано:

• Спрос на внутреннем рынке:
  P_d = 25 - 5Q_d,
  где Q_d — объем продаж на внутреннем рынке.
• Цена на внешнем рынке: P_f = 5 (фиксированная).
• Функция издержек:
  TC = 50 + Q + 0.25Q^2,
  где Q = Q_d + Q_f — общий объем производства.

Требуется найти:

1. Оптимальный объем продаж на внутреннем (Q_d) и внешнем (Q_f) рынках.
2. Установленную цену на внутреннем рынке (P_d).

Решение

1. Определим предельные издержки (MC)

Предельные издержки (MC) — это производная функции общих издержек (TC) по Q:

 MC = \frac{d(TC)}{dQ} = \frac{d}{dQ} (50 + Q + 0.25Q^2) = 1 + 0.5Q 

2. Определим предельный доход на внутреннем рынке (MR_d)

Функция спроса на внутреннем рынке:
P_d = 25 - 5Q_d.

Общий доход (TR_d):
TR_d = P_d \cdot Q_d = (25 - 5Q_d) Q_d = 25Q_d - 5Q_d^2.

Предельный доход (MR_d):
 MR_d = \frac{d(TR_d)}{dQ_d} = \frac{d}{dQ_d} (25Q_d - 5Q_d^2) = 25 - 10Q_d .

3. Условие оптимального выпуска

Фирма максимизирует прибыль, приравнивая предельные издержки к предельному доходу:

• Для внутреннего рынка:
  MR_d = MC, то есть:
  25 - 10Q_d = 1 + 0.5Q.

Так как Q = Q_d + Q_f, выразим Q_f:
Q_f = Q - Q_d.

• Для внешнего рынка:
  Цена фиксирована, поэтому фирма поставляет на внешний рынок, пока P_f \geq MC:
  5 = 1 + 0.5Q.

Решим уравнение:
0.5Q = 4
Q = 8.

4. Найдем объем продаж на внутреннем рынке

Подставим Q = 8 в уравнение 25 - 10Q_d = 1 + 0.5(8):

25 - 10Q_d = 1 + 4
25 - 10Q_d = 5
10Q_d = 20
Q_d = 2.

Объем продаж на внешнем рынке:
Q_f = Q - Q_d = 8 - 2 = 6.

5. Найдем цену на внутреннем рынке

Подставим Q_d = 2 в функцию спроса:

P_d = 25 - 5(2) = 25 - 10 = 15.

Ответ:

• Объем продаж на внутреннем рынке: Q_d = 2.
• Объем продаж на внешнем рынке: Q_f = 6.
• Цена на внутреннем рынке: P_d = 15.