Найти функцию спроса, если эластичность равна -2 для любых значений

Задание относится к предмету экономики, а именно к разделу спроса и предложения. Давайте решим задачу пошагово.

Задание: Найти функцию спроса, если эластичность равна -2 для любых значений \( p \). Найти функцию спроса. Эластичность спроса \(E_d\) определяется как: \[ E_d = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \] Где:

• \( E_d \) - эластичность спроса,
• \( \frac{dQ}{dP} \) - производная функции спроса по цене,
• \( P \) - цена,
• \( Q \) - количество.

Нам дано, что эластичность равна -2, т.е. \( E_d = -2 \). То есть, \[ -2 = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \] Или можно переписать это выражение так: \[ \frac{dQ}{dP} = -2 \cdot \frac{Q}{P} \]

Давайте теперь решим это дифференциальное уравнение относительно \( Q \).

Перепишем уравнение: \[ \frac{dQ}{Q} = -2 \cdot \frac{dP}{P} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{1}{Q} dQ = \int -2 \cdot \frac{1}{P} dP \] \[ \ln|Q| = -2 \ln|P| + C \] Где \( C \) - это произвольная постоянная интегрирования.

Перепишем результат в удобном виде: \[ \ln|Q| = \ln|P^{-2}| + C \] \[ \ln|Q| = \ln\left(\frac{1}{P^2}\right) + C \] Преобразуем его: \[ \ln|Q| = \ln\left(\frac{e^C}{P^2}\right) \] Где \( e^C \) - это новая постоянная интегрирования, пусть она равна \( K \). Тогда уравнение примет вид: \[ \ln|Q| = \ln \left(\frac{K}{P^2}\right) \] Избавляемся от логарифмов, возведя обе части уравнения в степень \( e \): \[ |Q| = \frac{K}{P^2} \] Или просто: \[ Q = \frac{K}{P^2} \] Таким образом, функция спроса \( Q \) выражается через цену \( P \) следующим образом: \[ Q = \frac{K}{P^2} \] Где \( K \) - это произвольная константа. Это и есть искомая функция спроса.