Вычислить перекрестную эластичность спроса

Предмет и раздел

Данное задание относится к экономике, а именно к разделу микроэкономики.

Тема: эластичность спроса и перекрестная эластичность спроса.

Условие

Функция спроса на благо \( A \) задана уравнением:

\[ Q_D = 12 - 2P_A + \sqrt{P_B}, \]

где \( Q_D \) — спрос на благо \( A \), \( P_A \) и \( P_B \) — цены благ \( A \) и \( B \) соответственно.

Даны:

\[ P_A = 3, \quad P_B = 4. \]

Необходимо:

1. Вычислить перекрестную эластичность спроса.
2. Охарактеризовать взаимозависимость благ \( A \) и \( B \).

Решение

1. Находим текущий спрос (\(Q_D\)):

Подставляем \( P_A = 3 \) и \( P_B = 4 \) в функцию спроса:

\[ Q_D = 12 - 2P_A + \sqrt{P_B}. \]

\[ Q_D = 12 - 2 \cdot 3 + \sqrt{4}. \]

\[ Q_D = 12 - 6 + 2 = 8. \]

Итак, текущее количество спроса \( Q_D = 8 \).

2. Первая производная функции спроса по \( P_B \):

\[ Q_D = 12 - 2P_A + \sqrt{P_B}. \]

Проводим дифференцирование по \( P_B \):

\[ \frac{\partial Q_D}{\partial P_B} = \frac{1}{2\sqrt{P_B}}. \]

При \( P_B = 4 \):

\[ \frac{\partial Q_D}{\partial P_B} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. \]

3. Формула перекрестной эластичности спроса (\(E_{Q,P_B}\)):

\[ E_{Q,P_B} = \frac{\partial Q_D}{\partial P_B} \cdot \frac{P_B}{Q_D}. \]

Подставляем значения:

\[ E_{Q,P_B} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{8}. \]

\[ E_{Q,P_B} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0.125. \]

4. Характеристика взаимозависимости благ \( A \) и \( B \):

• Если \( E_{Q,P_B} > 0 \), то блага \( A \) и \( B \) являются субститутами (товары-заменители).
• Если \( E_{Q,P_B} < 0 \), то блага \( A \) и \( B \) — комплементы (взаимодополняемые товары).
• Если \( E_{Q,P_B} = 0 \), то блага не связаны.

В нашем случае:

Ответ

1. Перекрестная эластичность спроса: \( E_{Q,P_B} = 0.125 \).
2. Блага \( A \) и \( B \) являются субститутами.

\[ E_{Q,P_B} = 0.125 > 0,\quad \text{следовательно, блага \( A \) и \( B \) являются субститутами.} \]