Найти эластичность спроса б) Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%

Это задание из предмета "Экономика" и относится к разделу "Эластичность спроса".

Задание состоит из двух частей:

1. Найти эластичность спроса \( E \) в точке \( P \).
2. Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%.

1. Найти эластичность спроса \( E \) в точке \( P \).

Функция спроса имеет вид \( P = \sqrt{2500 - x^2} \).

Эластичность спроса \( E \) определяется формулой:

\[ E = \left| \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \right| \]

Для этого нам нужно выразить \( Q \) через \( P \). Из функции спроса:

\[ P = \sqrt{2500 - x^2} \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ P^2 = 2500 - x^2 \]

Выразим \( x^2 \):

\[ x^2 = 2500 - P^2 \]

Теперь найдём производную \( \frac{dx}{dP} \):

\[ 2x \cdot \frac{dx}{dP} = -2P \]

\[ \frac{dx}{dP} = -\frac{P}{x} \]

Используем подстановку \( x = \sqrt{2500 - P^2} \):

\[ \frac{dx}{dP} = -\frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \]

Теперь найдем эластичность спроса \( E \):

\[ E = \left| \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \right| = \left| \left( -\frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \right) \cdot \frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \right| = \left| \frac{-P^2}{2500 - P^2} \right| = \frac{P^2}{2500 - P^2} \]

Таким образом, мы нашли выражение для эластичности спроса \( E \).

2. Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%.

Для этого воспользуемся формулой для процентного изменения спроса:

\[ \Delta Q \approx E \cdot \Delta P \]

Возвращаемся к функции спроса и определим значение \( P \) и подставим значение \( \Delta P \) (12% = 0.12).

Допустим, что при исходной цене \( P \), эластичность приведенной функции составляет \( E = \frac{P^2}{2500 - P^2} \).

Теперь вычислим процентное изменение:

\[ \Delta Q \approx \frac{P^2}{2500 - P^2} \cdot 0.12 \]

Таким образом, процентное изменение спроса приблизительно будет равным:

\[ \Delta Q \approx \frac{P^2}{2500 - P^2} \cdot 12\% \]

Пример: если изначальная цена \( P = 50 \), то:

\[ E = \frac{50^2}{2500 - 50^2} = \frac{2500}{2000} = 1.25 \]

\[ \Delta Q \approx 1.25 \cdot 12\% = 15\% \]

Изменение спроса при увеличении цены на 12% приблизительно составит 15%.

Надеюсь, это объяснение помогло решить задачу.