Найти эластичность спроса б) Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%

Условие:

Решение:

Это задание из предмета "Экономика" и относится к разделу "Эластичность спроса". Задание состоит из двух частей: а) Найти эластичность спроса \( E \) в точке \( P \). б) Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%. 1. Найти эластичность спроса \( E \) в точке \( P \). Функция спроса имеет вид \( P = \sqrt{2500 - x^2} \). Эластичность спроса \( E \) определяется формулой: \[ E = \left| \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \right| \] Для этого нам нужно выразить \( Q \) через \( P \). Из функции спроса: \[ P = \sqrt{2500 - x^2} \] Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ P^2 = 2500 - x^2 \] Выразим \( x^2 \): \[ x^2 = 2500 - P^2 \] Теперь найдём производную \( \frac{dx}{dP} \): \[ 2x \cdot \frac{dx}{dP} = -2P \] \[ \frac{dx}{dP} = -\frac{P}{x} \] Используем подстановку \( x = \sqrt{2500 - P^2} \): \[ \frac{dx}{dP} = -\frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \] Теперь найдем эластичность спроса \( E \): \[ E = \left| \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \right| = \left| \left( -\frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \right) \cdot \frac{P}{\sqrt{2500 - P^2}} \right| = \left| \frac{-P^2}{2500 - P^2} \right| = \frac{P^2}{2500 - P^2} \] Таким образом, мы нашли выражение для эластичности спроса \( E \). 2. Посчитать приблизительное процентное изменение спроса, если цена возрастает на 12%. Для этого воспользуемся формулой для процентного изменения спроса: \[ \Delta Q \approx E \cdot \Delta P \] Возвращаемся к функции спроса и определим значение \( P \) и подставим значение \( \Delta P \) (12% = 0.12). Допустим, что при исходной цене \( P \), эластичность приведенной функции составляет \( E = \frac{P^2}{2500 - P^2} \). Теперь вычислим процентное изменение: \[ \Delta Q \approx \frac{P^2}{2500 - P^2} \cdot 0.12 \] Таким образом, процентное изменение спроса приблизительно будет равным: \[ \Delta Q \approx \frac{P^2}{2500 - P^2} \cdot 12\% \] Пример: если изначальная цена \( P = 50 \), то: \[ E = \frac{50^2}{2500 - 50^2} = \frac{2500}{2000} = 1.25 \] \[ \Delta Q \approx 1.25 \cdot 12\% = 15\% \] Изменение спроса при увеличении цены на 12% приблизительно составит 15%. Надеюсь, это объяснение помогло решить задачу.