Определение точки ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 )

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория, неравенство доходов (кривая Лоренца, коэффициент Джини)

Рассмотрим данную задачу по порядку.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Функция Лоренца описывает распределение доходов или богатства в обществе. Она должна удовлетворять следующим свойствам:

1. ( L(0) = 0 ) и ( L(1) = 1 ) (начинается в точке (0,0) и заканчивается в (1,1)).
2. ( L(z) ) — выпуклая и неубывающая функция.

Дана функция:
L(z) = 2 \left[ 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) \right], \quad z \in [0,1]

Проверим граничные условия:

• При ( z = 0 ):
  L(0) = 2 \left[ 1 - \cos^2(0) \right] = 2(1 - 1) = 0
• При ( z = 1 ):
  L(1) = 2 \left[ 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) \right] = 2 \left[ 1 - \frac{1}{2} \right] = 2 \times \frac{1}{2} = 1

Таким образом, ( L(0) = 0 ) и ( L(1) = 1 ), что соответствует свойствам кривой Лоренца.

Теперь найдем производную:
 L'(z) = 2 \cdot \left( -2 \cos \left( \frac{\pi z}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi z}{4} \right) \right) \cdot \frac{\pi}{4} 
Используем формулу ( \sin(2x) = 2\sin x \cos x ), тогда:
 L'(z) = -2 \cdot \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) 

Так как ( \sin(x) ) неотрицательна на ([0,1]), то ( L'(z) ) неотрицательна, что доказывает неубывание функции.

Также вторая производная:
 L''(z) = -\frac{\pi^2}{4} \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right) 
Так как ( \cos(x) > 0 ) для ( z \in [0,1] ), то ( L''(z) ) отрицательна, что доказывает выпуклость.

Следовательно, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Определение точки ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 )

Решаем уравнение:
 -\frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) = 1 
Домножим на ( -1 ):
 \frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) = -1 
Разделим на ( \frac{\pi}{2} ):
 \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) = -\frac{2}{\pi} 

Так как ( -1 \leq \sin(x) \leq 1 ), проверяем, входит ли ( -\frac{2}{\pi} ) в этот диапазон:
\frac{2}{\pi} \approx 0.636\, т.е. ( -0.636 ) допустимо.

Находим ( z_0 ):
 \frac{\pi z_0}{2} = \arcsin \left( -\frac{2}{\pi} \right) 
 z_0 = \frac{2}{\pi} \arcsin \left( -\frac{2}{\pi} \right) 

3. Вычисление коэффициента Джини

Коэффициент Джини вычисляется по формуле:
 G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz 

Подставляем функцию:
 G = 1 - 2 \int_0^1 2 \left[ 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) \right] dz 
 G = 1 - 4 \int_0^1 \left[ 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) \right] dz 

Разделим интеграл:
 G = 1 - 4 \left[ \int_0^1 1 dz - \int_0^1 \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) dz \right] 

Первый интеграл:
 \int_0^1 1 dz = 1 

Второй интеграл:
Используем формулу ( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} ):
 \int_0^1 \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) dz = \int_0^1 \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right)}{2} dz 
 = \frac{1}{2} \int_0^1 1 dz + \frac{1}{2} \int_0^1 \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right) dz 

Первый интеграл:
 \frac{1}{2} \int_0^1 1 dz = \frac{1}{2} 

Второй интеграл:
 \frac{1}{2} \int_0^1 \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right) dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\pi} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) \Big|_0^1 
 = \frac{1}{\pi} \left[ \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right] = \frac{1}{\pi} (1 - 0) = \frac{1}{\pi} 

Итак,
 \int_0^1 \cos^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) dz = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} 

Подставляем:
 G = 1 - 4 \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \right) = 1 - 4 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \right) 
 = 1 - 2 + \frac{4}{\pi} = -1 + \frac{4}{\pi} 

Приближенное значение:
 G \approx -1 + \frac{4}{3.14} \approx -1 + 1.273 = 0.273 

Ответ: ( G \approx 0.273 ).