Найти условия, при которых функция ( L = L(z) ) определяет кривую Лоренца

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория (коэффициент Джини и кривая Лоренца)

Рассмотрим данную задачу по порядку.

1. Найдём условия, при которых функция ( L = L(z) ) определяет кривую Лоренца.

Функция Лоренца должна удовлетворять следующим условиям:

• ( L(0) = 0 )
• ( L(1) = 1 )
• ( L(z) ) должна быть неубывающей на ([0,1])
• ( L(z) ) должна быть выпуклой

Дана функция:
L(z) = \frac{e^{Bz} - 1}{A}, где z \in [0,1].

Проверим граничные условия:
 L(0) = \frac{e^0 - 1}{A} = \frac{1 - 1}{A} = 0. 
 L(1) = \frac{e^B - 1}{A}. 

Чтобы выполнялось L(1) = 1, необходимо:
 \frac{e^B - 1}{A} = 1 \Rightarrow A = e^B - 1. 
Таким образом, функция ( L(z) ) является кривой Лоренца при ( A = e^B - 1 ).

2. Вычислим коэффициент Джини ( G(A) ).

Коэффициент Джини определяется как:
 G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz. 

Подставляем функцию ( L(z) ):
 G(A) = 1 - 2 \int_0^1 \frac{e^{Bz} - 1}{A} dz. 

Вычислим интеграл:
 \int_0^1 (e^{Bz} - 1) dz = \int_0^1 e^{Bz} dz - \int_0^1 1 dz. 

Первый интеграл:
 \int_0^1 e^{Bz} dz = \frac{e^{Bz}}{B} \Big|_0^1 = \frac{e^B - 1}{B}. 

Второй интеграл:
 \int_0^1 1 dz = 1. 

Подставляем:
 \int_0^1 (e^{Bz} - 1) dz = \frac{e^B - 1}{B} - 1. 

Теперь подставляем в формулу коэффициента Джини:
 G(A) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{A} \left( \frac{e^B - 1}{B} - 1 \right). 

Так как ( A = e^B - 1 ), подставляем:
 G(A) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{e^B - 1} \left( \frac{e^B - 1}{B} - 1 \right). 

Для ( A = 2 ) (найдём ( G(2) )):
Если ( A = 2 ), то ( e^B - 1 = 2 ), откуда ( e^B = 3 ), значит ( B = \ln 3 ).
Подставляем:
 G(2) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{3 - 1}{\ln 3} - 1 \right). 

Упрощаем:
 G(2) = 1 - \left( \frac{2}{\ln 3} - 2 \right). 
 G(2) = 1 - \frac{2}{\ln 3} + 2. 
 G(2) = 3 - \frac{2}{\ln 3}. 

3. Найдём точку ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 ) при ( A = 2 ).

Находим производную:
 L'(z) = \frac{B e^{Bz}}{A}. 

При ( A = 2 ) и ( B = \ln 3 ):
 L'(z) = \frac{\ln 3 \cdot e^{(\ln 3)z}}{2}. 

Решаем уравнение:
 \frac{\ln 3 \cdot e^{(\ln 3)z_0}}{2} = 1. 

Умножаем на 2:
 \ln 3 \cdot e^{(\ln 3)z_0} = 2. 

Делим на ( \ln 3 ):
 e^{(\ln 3)z_0} = \frac{2}{\ln 3}. 

Берём логарифм:
 (\ln 3)z_0 = \ln \left( \frac{2}{\ln 3} \right). 

Находим ( z_0 ):
 z_0 = \frac{\ln \left( \frac{2}{\ln 3} \right)}{\ln 3}. 

Ответы:

1. Функция ( L(z) ) является кривой Лоренца при ( A = e^B - 1 ).
2. Коэффициент Джини:
   G(2) = 3 - \frac{2}{\ln 3}.
3. Точка ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 ):
   z_0 = \frac{\ln \left( \frac{2}{\ln 3} \right)}{\ln 3}.