Коэффициент Джини G

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория, теория неравенства (кривая Лоренца, коэффициент Джини)

Рассмотрим поэтапно решение задачи.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Функция Лоренца ( L(z) ) должна удовлетворять следующим условиям:

1. ( L(0) = 0 ), ( L(1) = 1 ) (начало и конец кривой).
2. ( L(z) ) является неубывающей функцией.
3. ( L(z) ) является выпуклой (выпуклость вверх).

Дана функция:
L(z) = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right), \quad z \in [0,1]

• Проверим граничные условия:
  L(0) = 2 \sin^2 (0) = 0
  L(1) = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1
  Условия выполняются.

• Найдём первую производную:
  L'(z) = 2 \cdot 2 \sin \left( \frac{\pi z}{4} \right) \cos \left( \frac{\pi z}{4} \right) \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right)
  Так как \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) \geq 0 на [0,1], то L'(z) \geq 0, значит, функция неубывающая.

• Найдём вторую производную:
  L''(z) = \frac{\pi^2}{4} \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right)
  Так как \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right) \geq 0 на [0,1], то L''(z) \geq 0, следовательно, функция выпуклая.

Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям кривой Лоренца.

2. Определение точки z_0, в которой L'(z_0) = 1

Решаем уравнение:
\frac{\pi}{2} \sin \left( \frac{\pi z_0}{2} \right) = 1

Отсюда:
\sin \left( \frac{\pi z_0}{2} \right) = \frac{2}{\pi}

Решение:
z_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^2}

3. Вычисление коэффициента Джини

Коэффициент Джини определяется как:
G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz

Вычисляем интеграл:
\int_0^1 2 \sin^2 \left( \frac{\pi z}{4} \right) dz

Используем формулу:
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

Получаем:
\int_0^1 2 \cdot \frac{1 - \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right)}{2} dz = \int_0^1 (1 - \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right)) dz

Интегрируем:
\int_0^1 1 dz - \int_0^1 \cos \left( \frac{\pi z}{2} \right) dz

= z \Big|_0^1 - \frac{2}{\pi} \sin \left( \frac{\pi z}{2} \right) \Big|_0^1

= 1 - \frac{2}{\pi} (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0)

= 1 - \frac{2}{\pi} (1 - 0) = 1 - \frac{2}{\pi}

Подставляем в формулу Джини:
G = 1 - 2 (1 - \frac{2}{\pi})

= 1 - 2 + \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\pi} - 1

Приближённое значение:
G \approx \frac{4}{3.14} - 1 \approx 0.273

Ответы:

1. Доказано, что данная функция является кривой Лоренца.
2. z_0 = \frac{4}{\pi^2}.
3. Коэффициент Джини G = \frac{4}{\pi} - 1 \approx 0.273.