Доказательство, что ( L = L_n(z) = z^n ) определяет кривую Лоренца

Предмет: Математика
Раздел: Экономическая теория, неравенство доходов (Кривая Лоренца, коэффициент Джини)

Рассмотрим решение каждого пункта:

1. Доказательство, что ( L = L_n(z) = z^n ) определяет кривую Лоренца

Кривая Лоренца ( L(z) ) описывает кумулятивное распределение дохода в зависимости от доли населения. Ее основные свойства:

1. ( L(0) = 0 ) и ( L(1) = 1 ) (начинается в нуле и заканчивается в единице).
2. Функция ( L(z) ) должна быть неубывающей.
3. Кривая Лоренца всегда лежит ниже или на диагонали ( L = z ), так как она описывает реальное распределение доходов (идеальное равенство соответствует диагонали).

Функция ( L_n(z) = z^n ) удовлетворяет этим условиям:

• ( L_n(0) = 0^n = 0 ) и ( L_n(1) = 1^n = 1 ), что соответствует первому свойству.
• Производная ( L_n'(z) = n z^{n-1} \geq 0 ) при ( z \geq 0 ), значит, функция неубывающая.
• Так как ( z^n \leq z ) при ( 0 \leq z \leq 1 ) и ( n > 1 ), функция лежит ниже диагонали.

Следовательно, ( L_n(z) = z^n ) действительно является кривой Лоренца.

2. Вычисление коэффициента Джини ( G_n ) для кривой Лоренца ( L_n(z) = z^n )

Коэффициент Джини определяется как:
 G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz 
Подставляем ( L_n(z) = z^n ):
 G_n = 1 - 2 \int_0^1 z^n dz 
Вычисляем интеграл:
 \int_0^1 z^n dz = \frac{1}{n+1} 
Подставляя в формулу:
 G_n = 1 - 2 \cdot \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1} 

3. Вычисление предела ( \lim\limits_{n \to \infty} G_n )

Находим предел:
 \lim\limits_{n \to \infty} G_n = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{n+1} \right) = 1. 
Это означает, что при увеличении ( n ) коэффициент Джини стремится к 1, что соответствует предельному случаю полного неравенства (все богатства сосредоточены у одного человека).

Вывод:

1. Функция ( L_n(z) = z^n ) действительно является кривой Лоренца.
2. Коэффициент Джини для этой кривой равен ( G_n = 1 - \frac{2}{n+1} ).
3. При ( n \to \infty ) коэффициент Джини стремится к 1, что соответствует максимальному неравенству.