Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория (коэффициент Джини, кривая Лоренца)

Разберёмся с каждым пунктом задачи.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Кривая Лоренца описывает распределение доходов или богатства в обществе. Она представляет собой функцию ( L(z) ), где ( z ) — доля населения, а ( L(z) ) — доля совокупного дохода, принадлежащая этой части населения.

Дана функция:
$L(z)=1-\sqrt{1-z^2},z\in [0,1]$

Для того чтобы эта функция была кривой Лоренца, она должна удовлетворять следующим условиям:

1. Граничные условия:
   • ( L(0) = 0 ),
   • ( L(1) = 1 ).
2. Монотонность: ( L(z) ) должна быть неубывающей функцией.
3. Выпуклость: Функция должна быть вогнутой вниз (вторая производная должна быть неположительной).
4. Начальная линейность: Вблизи ( z = 0 ) функция должна быть примерно линейной, что соответствует равномерному распределению доходов.

Проверим эти условия:

• Граничные условия:
  $L(0)=1-\sqrt{1-0^2}=1-1=0$
  $L(1)=1-\sqrt{1-1^2}=1-0=1$
  Условия выполняются.

• Монотонность:
  Найдём первую производную:
  $L^{\prime }(z)=\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$
  Так как ( z \geq 0 ) и знаменатель всегда положителен, то ( L'(z) \geq 0 ), следовательно, функция неубывающая.

• Вогнутость:
  Найдём вторую производную:
  $L^{″}(z)=\frac{1}{(1-z^2{)}^{3/2}}$
  Поскольку ( L''(z) \leq 0 ) для ( z \in (0,1) ), функция является вогнутой, что соответствует свойствам кривой Лоренца.

Таким образом, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Вычисление коэффициента Джини ( G_n )

Коэффициент Джини определяется как:
$G_n=1-2{\int }_0^{1}L(z)dz$

Подставим функцию:
$G_n=1-2{\int }_0^1(1-\sqrt{1-z^2})dz$

Рассчитаем интеграл:
${\int }_0^{1}1dz=1$
${\int }_0^1\sqrt{1-z^2}dz$

Это стандартный интеграл, который равен:
$\frac{\pi }{4}$

Тогда:
$G_n=1-2(1-\frac{\pi }{4})=2\frac{\pi }{4}-1=\frac{\pi }{2}-1$

3. Определение "степени расслоения" и точки ( z_0 )

Степень расслоения определяется как отношение:
$\frac{L(4/5)}{L(1/5)}$

Найдём значения:
$L(4/5)=1-\sqrt{1-(4/5{)}^2}=1-\sqrt{1-16/25}=1-\sqrt{9/25}=1-3/5=2/5$
$L(1/5)=1-\sqrt{1-(1/5{)}^2}=1-\sqrt{1-1/25}=1-\sqrt{24/25}\approx 1-0.9798=0.0202$

Тогда:
$\frac{L(4/5)}{L(1/5)}=\frac{2/5}{0.0202}\approx 9.9$

Теперь найдём точку ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 ):
$L^{\prime }(z)=\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$

Решаем уравнение:
$\frac{z_0}{\sqrt{1-z_0^2}}=1$

Возведём обе части в квадрат:
$z_0^2=1-z_0^2$

$2z_0^2=1$

$z_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Таким образом,
$z_0=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$

Ответы:

1. Доказано, что функция является кривой Лоренца.
2. Коэффициент Джини: $G_n=\frac{\pi }{2}-1$.
3. Степень расслоения: $\approx 9.9$, точка $z_0\approx 0.707$.