Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория (коэффициент Джини, кривая Лоренца)

Разберёмся с каждым пунктом задачи.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Кривая Лоренца описывает распределение доходов или богатства в обществе. Она представляет собой функцию ( L(z) ), где ( z ) — доля населения, а ( L(z) ) — доля совокупного дохода, принадлежащая этой части населения.

Дана функция:
L(z) = 1 - \sqrt{1 - z^2}, \quad z \in [0,1]

Для того чтобы эта функция была кривой Лоренца, она должна удовлетворять следующим условиям:

1. Граничные условия:
   • ( L(0) = 0 ),
   • ( L(1) = 1 ).
2. Монотонность: ( L(z) ) должна быть неубывающей функцией.
3. Выпуклость: Функция должна быть вогнутой вниз (вторая производная должна быть неположительной).
4. Начальная линейность: Вблизи ( z = 0 ) функция должна быть примерно линейной, что соответствует равномерному распределению доходов.

Проверим эти условия:

• Граничные условия:
  L(0) = 1 - \sqrt{1 - 0^2} = 1 - 1 = 0
  L(1) = 1 - \sqrt{1 - 1^2} = 1 - 0 = 1
  Условия выполняются.

• Монотонность:
  Найдём первую производную:
  L'(z) = \frac{z}{\sqrt{1 - z^2}}
  Так как ( z \geq 0 ) и знаменатель всегда положителен, то ( L'(z) \geq 0 ), следовательно, функция неубывающая.

• Вогнутость:
  Найдём вторую производную:
  L''(z) = \frac{1}{(1 - z^2)^{3/2}}
  Поскольку ( L''(z) \leq 0 ) для ( z \in (0,1) ), функция является вогнутой, что соответствует свойствам кривой Лоренца.

Таким образом, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Вычисление коэффициента Джини ( G_n )

Коэффициент Джини определяется как:
G_n = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz

Подставим функцию:
G_n = 1 - 2 \int_0^1 \left( 1 - \sqrt{1 - z^2} \right) dz

Рассчитаем интеграл:
\int_0^1 1 \, dz = 1
\int_0^1 \sqrt{1 - z^2} \, dz

Это стандартный интеграл, который равен:
\frac{\pi}{4}

Тогда:
G_n = 1 - 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi}{2} - 1

3. Определение "степени расслоения" и точки ( z_0 )

Степень расслоения определяется как отношение:
\frac{L(4/5)}{L(1/5)}

Найдём значения:
L(4/5) = 1 - \sqrt{1 - (4/5)^2} = 1 - \sqrt{1 - 16/25} = 1 - \sqrt{9/25} = 1 - 3/5 = 2/5
L(1/5) = 1 - \sqrt{1 - (1/5)^2} = 1 - \sqrt{1 - 1/25} = 1 - \sqrt{24/25} \approx 1 - 0.9798 = 0.0202

Тогда:
\frac{L(4/5)}{L(1/5)} = \frac{2/5}{0.0202} \approx 9.9

Теперь найдём точку ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 ):
L'(z) = \frac{z}{\sqrt{1 - z^2}}

Решаем уравнение:
\frac{z_0}{\sqrt{1 - z_0^2}} = 1

Возведём обе части в квадрат:
z_0^2 = 1 - z_0^2

2z_0^2 = 1

z_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}

Таким образом,
z_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707

Ответы:

1. Доказано, что функция является кривой Лоренца.
2. Коэффициент Джини: G_n = \frac{\pi}{2} - 1.
3. Степень расслоения: \approx 9.9, точка z_0 \approx 0.707.