Вычислите коэффициент Джини для кривой Лоренца

Предмет: Экономика

Раздел: Эконометрика, неравенство доходов

Коэффициент Джини ( G ) вычисляется по формуле:
G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz

где ( L(z) ) — функция кривой Лоренца:
L(z) = \frac{(1+z) \ln(1+z) - z}{2 \ln 2 - 1}

Шаг 1: Вычисление интеграла

Найдем определенный интеграл:
I = \int_0^1 L(z) dz = \int_0^1 \frac{(1+z) \ln(1+z) - z}{2 \ln 2 - 1} dz

Разделим интеграл на два:
I = \frac{1}{2 \ln 2 - 1} \left[ \int_0^1 (1+z) \ln(1+z) dz - \int_0^1 z dz \right]

Вычислим каждый интеграл отдельно:

1. Первый интеграл:
   \int (1+z) \ln(1+z) dz
   Используем интегрирование по частям, где
   u = \ln(1+z), \quad dv = (1+z) dz
   Тогда
   du = \frac{dz}{1+z}, \quad v = \frac{(1+z)^2}{2}
   После подстановки и вычислений получаем:
   \int_0^1 (1+z) \ln(1+z) dz = \frac{3}{4} - \frac{\ln^2 2}{2}

2. Второй интеграл:
   \int_0^1 z dz = \frac{1}{2}

Подставляя в выражение для ( I ), получаем:
I = \frac{\frac{3}{4} - \frac{\ln^2 2}{2} - \frac{1}{2}}{2 \ln 2 - 1}
Упрощая:
I = \frac{\frac{1}{4} - \frac{\ln^2 2}{2}}{2 \ln 2 - 1}

Шаг 2: Вычисление коэффициента Джини

G = 1 - 2I
Подставляя найденное значение ( I ):
G = 1 - 2 \cdot \frac{\frac{1}{4} - \frac{\ln^2 2}{2}}{2 \ln 2 - 1}

Подставляя ( \ln 2 \approx 0.6931 ), можно численно вычислить ( G ).