Теория неравенства доходов

Предмет: Математика

Раздел: Эконометрика, Теория неравенства доходов

Рассмотрим решение задачи по порядку.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Функция Лоренца определяется как монотонно неубывающая функция L(z), удовлетворяющая условиям:

• L(0) = 0
• L(1) = 1

Дана функция:
L(z) = \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right), \quad z \in [0,1]

Проверим граничные условия:

• L(0) = \tan(0) = 0
• L(1) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1

Также функция \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right) является строго возрастающей на [0,1], так как ее производная положительна.
Следовательно, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Определение точки z_0, в которой L'(z_0) = 1

Найдем производную функции:
 L'(z) = \frac{d}{dz} \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right) = \frac{\pi}{4} \sec^2\left(\frac{\pi}{4}z\right) 

Найдем z_0, при котором L'(z_0) = 1:
 \frac{\pi}{4} \sec^2\left(\frac{\pi}{4} z_0\right) = 1 

Выразим \sec^2\left(\frac{\pi}{4} z_0\right):
 \sec^2\left(\frac{\pi}{4} z_0\right) = \frac{4}{\pi} 

Так как \sec^2 x = 1 + \tan^2 x, получаем:
 1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{4} z_0\right) = \frac{4}{\pi} 

Следовательно:
 \tan^2\left(\frac{\pi}{4} z_0\right) = \frac{4}{\pi} - 1 

Берем корень:
 \tan\left(\frac{\pi}{4} z_0\right) = \sqrt{\frac{4}{\pi} - 1} 

Выразим z_0:
 z_0 = \frac{4}{\pi} \arctan \left(\sqrt{\frac{4}{\pi} - 1}\right) 

3. Вычисление коэффициента Джини

Коэффициент Джини рассчитывается по формуле:
 G = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz 

Подставим нашу функцию:
 G = 1 - 2 \int_0^1 \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right) dz 

Рассчитаем интеграл:
 \int \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right) dz 

Известно, что:
 \int \tan x dx = \ln |\sec x| 

Следовательно:
 \int \tan\left(\frac{\pi}{4} z\right) dz = \frac{4}{\pi} \ln \left|\sec\left(\frac{\pi}{4} z\right)\right| 

Подставим пределы:
 \left[ \frac{4}{\pi} \ln \left|\sec\left(\frac{\pi}{4} z\right)\right| \right]_{0}^{1} 

Вычислим:
 \frac{4}{\pi} \left( \ln |\sec (\pi/4)| - \ln |\sec (0)| \right) 

Так как \sec (\pi/4) = \sqrt{2} и \sec(0) = 1, получаем:
 \frac{4}{\pi} \ln \sqrt{2} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{2}{\pi} \ln 2 

Подставляем в формулу коэффициента Джини:
 G = 1 - 2 \cdot \frac{2}{\pi} \ln 2 = 1 - \frac{4}{\pi} \ln 2 

Таким образом, коэффициент Джини для данной кривой Лоренца:
 G = 1 - \frac{4}{\pi} \ln 2