Теория неравенства доходов

Предмет: Математика

Раздел: Эконометрика, Теория неравенства доходов

Рассмотрим решение задачи по порядку.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Функция Лоренца определяется как монотонно неубывающая функция $L(z)$, удовлетворяющая условиям:

• $L(0)=0$
• $L(1)=1$

Дана функция:
$L(z)=\tan \left(\frac{\pi }{4}z\right),z\in [0,1]$

Проверим граничные условия:

• $L(0)=\tan (0)=0$
• $L(1)=\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$

Также функция $\tan \left(\frac{\pi }{4}z\right)$ является строго возрастающей на $[0,1]$, так как ее производная положительна.
Следовательно, данная функция действительно является кривой Лоренца.

2. Определение точки $z_0$, в которой $L^{\prime }(z_0)=1$

Найдем производную функции:
$L^{\prime }(z)=\frac{d}{dz}\tan \left(\frac{\pi }{4}z\right)=\frac{\pi }{4}{\sec }^2\left(\frac{\pi }{4}z\right)$

Найдем $z_0$, при котором $L^{\prime }(z_0)=1$:
$\frac{\pi }{4}{\sec }^2\left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)=1$

Выразим ${\sec }^2\left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)$:
${\sec }^2\left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)=\frac{4}{\pi }$

Так как ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$, получаем:
$1+{\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)=\frac{4}{\pi }$

Следовательно:
${\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)=\frac{4}{\pi }-1$

Берем корень:
$\tan \left(\frac{\pi }{4}{z}_0\right)=\sqrt{\frac{4}{\pi }-1}$

Выразим $z_0$:
$z_0=\frac{4}{\pi }\arctan \left(\sqrt{\frac{4}{\pi }-1}\right)$

3. Вычисление коэффициента Джини

Коэффициент Джини рассчитывается по формуле:
$G=1-2{\int }_0^{1}L(z)dz$

Подставим нашу функцию:
$G=1-2{\int }_0^1\tan \left(\frac{\pi }{4}z\right)dz$

Рассчитаем интеграл:
$\int \tan \left(\frac{\pi }{4}z\right)dz$

Известно, что:
$\int \tan xdx=\ln |\sec x|$

Следовательно:
$\int \tan \left(\frac{\pi }{4}z\right)dz=\frac{4}{\pi }\ln |\sec \left(\frac{\pi }{4}z\right)|$

Подставим пределы:
${[\frac{4}{\pi }\ln |\sec \left(\frac{\pi }{4}z\right)|]}_0^1$

Вычислим:
$\frac{4}{\pi }(\ln |\sec (\pi /4)|-\ln |\sec (0)|)$

Так как $\sec (\pi /4)=\sqrt{2}$ и $\sec (0)=1$, получаем:
$\frac{4}{\pi }\ln \sqrt{2}=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{1}{2}\ln 2=\frac{2}{\pi }\ln 2$

Подставляем в формулу коэффициента Джини:
$G=1-2\cdot \frac{2}{\pi }\ln 2=1-\frac{4}{\pi }\ln 2$

Таким образом, коэффициент Джини для данной кривой Лоренца:
$G=1-\frac{4}{\pi }\ln 2$