Требуется найти производную y'(x) и вычислить её значение при x = 2

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Производная сложной функции

Нам дана функция:

y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^3}{1 - x^3}}

Требуется найти производную y'(x) и вычислить её значение при x = 2.

Шаг 1: Представим функцию в виде степени

y = \left( \frac{1 + x^3}{1 - x^3} \right)^{1/3}

Обозначим:

u(x) = \frac{1 + x^3}{1 - x^3},
тогда
y = u^{1/3}

Шаг 2: Используем правило производной сложной функции

y' = \frac{1}{3} u^{-2/3} \cdot u'

Найдём u' по правилу производной дроби:

 u' = \frac{(1 - x^3) \cdot (3x^2) - (1 + x^3) \cdot (-3x^2)}{(1 - x^3)^2} 

Упростим числитель:

 (1 - x^3)(3x^2) + (1 + x^3)(3x^2) = 3x^2[(1 - x^3) + (1 + x^3)] = 3x^2[2] = 6x^2 

Таким образом:

 u' = \frac{6x^2}{(1 - x^3)^2} 

Шаг 3: Подставим в формулу производной

 y' = \frac{1}{3} \left( \frac{1 + x^3}{1 - x^3} \right)^{-2/3} \cdot \frac{6x^2}{(1 - x^3)^2} 

Шаг 4: Найдём значение производной при x = 2

Сначала вычислим:

• 1 + 8 = 9
• 1 - 8 = -7

Тогда:

 u = \frac{9}{-7}, \quad u^{-2/3} = \left( \frac{9}{-7} \right)^{-2/3} = \left( \frac{-7}{9} \right)^{2/3} 

Также:

 (1 - x^3)^2 = (-7)^2 = 49, \quad x^2 = 4 

Теперь подставим:

 y'(2) = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{-7}{9} \right)^{2/3} \cdot \frac{6 \cdot 4}{49} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{-7}{9} \right)^{2/3} \cdot \frac{24}{49} 

Ответ:

 y'(2) = \frac{8}{49} \cdot \left( \frac{-7}{9} \right)^{2/3} 

Если нужно, можно выразить численно:

 \left( \frac{-7}{9} \right)^{2/3} = \left( \frac{49}{81} \right)^{1/3} \approx 0.861 

Тогда:

 y'(2) \approx \frac{8}{49} \cdot 0.861 \approx 0.140 

Окончательный ответ:

 y'(2) \approx 0.140